벡터의 연산

정육면체의 높이, 길이, 너비가 $s$ 라고 하자. 정육면체의 꼭짓점이 $(0,0,0)$, $(s,0,0)$, $(0,s,0)$, $(0,0,s)$, $(s,s,0)$, $(0,s,s)$, $(s,0,s)$, $(s,s,s)$ 에 오도록 좌표축을 잡을 수 있다.

먼저 몇 가지 예를 살펴보자. $(0,0,0)$ 에서 $(s,s,s)$ 까지의 대각선은 $\left< s,s,s\right>$ 이다. 정육면체의 한 면은 꼭짓점이 $(0,0,0)$, $(s,0,0)$, $(0,s,0)$, $(s,s,0)$ 이다. 이 면의 한 대각선은 $(0,0,0)$ 에서 $(s,s,0)$ 까지이므로 $\left< s,s,0\right>$ 이다. $\left< s,s,s\right>$ 와 $\left< s,s,0\right>$ 사이의 각은

$$\begin{aligned} \cos^{-1}\left(\frac{\left< s,s,s\right>\cdot\left< s,s,0\right>} {|\left< s,s,s\right>|\,|\left< s,s,0\right>|}\right) =\cos^{-1}\left(\frac{2s^2}{\sqrt{3}s\,\sqrt{2}s}\right) =\cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right)\approx 35.26^\circ \end{aligned}$$

꼭짓점이 $(0,0,0)$, $(s,0,0)$, $(0,s,0)$, $(s,s,0)$ 인 면의 다른 대각선은 $(s,0,0)$ 에서 $(0,s,0)$ 까지의 대각선이다. 이 대각선은 $\left< -s,s,0\right>$ 이다. $\left< s,s,s\right>$ 와 $\left< -s,s,0\right>$ 사이의 각은

$$\begin{aligned} \cos^{-1}\left(\frac{\left< s,s,s\right>\cdot\left< -s,s,0\right>} {|\left< s,s,s\right>|\,|\left< -s,s,0\right>|}\right) =\cos^{-1}\left(\frac{0}{\sqrt{3}s\,\sqrt{2}s}\right) =\cos^{-1}(0)=90^\circ \end{aligned}$$

이제 일반적인 경우를 살펴보자. 정육면체의 모든 꼭짓점의 모든 성분은 $0$ 또는 $s$ 이다. 일반적으로 정육면체의 두 꼭짓점은 두 꼭짓점의 세 성분이 모두 서로 다르면 정육면체의 대각선의 반대쪽 양 끝에 있다. 예를 들어 대각선의 한 끝이 $(s,0,s)$ 이면 다른 끝은 $(0,s,0)$ 이다. 정육면체의 대각선은 모두 $\left< \pm s,\pm s,\pm s\right>$ 꼴이다. 이 대각선의 길이는 모두 $\sqrt{3}s$ 이다. 두 꼭짓점은 성분 중 하나가 같으면 정육면체의 같은 면 위에 있다. 나머지 두 성분이 서로 다르면 그 두 꼭짓점은 그 면의 대각선의 반대쪽 양 끝에 있다. 예를 들어 $(0,s,s)$ 와 $(s,0,s)$ 는 모두 $z=s$ 인 면 위에 있다. $x$ 성분 $0,\ s$ 가 서로 다르고 $y$ 성분 $s,\ 0$ 도 서로 다르므로 $(0,s,s)$ 와 $(s,0,s)$ 는 $z=s$ 인 면의 대각선의 양 끝이다. $z=0$ 또는 $z=s$ 인 면의 대각선은 $\left< \pm s,\pm s,0\right>$ 이다. $y=0$ 또는 $y=s$ 인 면의 대각선은 $\left< \pm s,0, \pm s\right>$ 이다. $x=0$ 또는 $x=s$ 인 면의 대각선은 $\left< 0,\pm s,\pm s\right>$ 이다. 이 대각선의 길이는 모두 $\sqrt{2}s$ 이다. 정육면체의 대각선 $\left< \pm s,\pm s,\pm s\right>$ 중 하나와 면의 대각선 $\left< \pm s,\pm s,0\right>$, $\left< \pm s,0, \pm s\right>$, $\left< 0,\pm s,\pm s\right>$ 중 하나의 내적은 $\pm s^2\pm s^2+0$ 꼴이므로 $2s^2$ 또는 $0$ 또는 $-2s^2$ 이어야 한다. 일반적으로 정육면체의 대각선과 면의 대각선 사이의 각은

$$\begin{aligned} \cos^{-1}\left(\frac{\text{$2s^2$ 또는 0 또는 $-2s^2$}}{\sqrt{3}s\,\sqrt{2}s}\right) =\cos^{-1}\left(\frac{\text{$2$ 또는 $0$ 또는 $-2$}}{\sqrt{6}}\right)\approx \text{$35.26^\circ$ 또는 $90^\circ$ 또는 $144.74^\circ$}. \end{aligned}$$