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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

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먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 3권 · 2.2절 · 17번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 시점이 PP 이고 종점이 QQ 인 벡터 PQ⃗\vec{PQ} 를

a. 성분 형태로 나타내고 b. 표준단위벡터를 사용하여 나타내세요.

P(3,0,2)P(3,0,2) 와 Q(−1,−1,4)Q(-1,-1,4)

영어 원문 보기

For the following exercises, express vector PQ⃗\vec{PQ} with the initial point at PP and the terminal point at QQ

a. in component form and b. by using standard unit vectors.

P(3,0,2)P(3,0,2) and Q(−1,−1,4)Q(-1,-1,4)

정답·풀이 보기

a. PQ⃗=⟨−4,−1,2⟩;\vec{PQ}=\langle -4,-1,2\rangle ; b. PQ⃗=−4i−j+2k\vec{PQ}=-4\text{i}-\text{j}+2\text{k}

원본 교재 풀이(영어)

a. PQ⃗=⟨−4,−1,2⟩;\vec{PQ}=\langle -4,-1,2\rangle ; b. PQ⃗=−4i−j+2k\vec{PQ}=-4\text{i}-\text{j}+2\text{k}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.1절 · 1번우리말 번역

R3\mathbb{R}^3 에서 다음을 만족하는 모든 점 (x,y,z)(x,y,z) 의 집합을 설명하세요.

(a) x2+y2+z2=2x−4y+4x^2 +y^2+z^2= 2x-4y+4 (b) x2+y2+z2<2x−4y+4x^2 +y^2+z^2< 2x-4y+4

다 풀었으면 정답 확인

(a) 점 (x,y,z)(x,y,z) 가 x2+y2+z2=2x−4y+4x^2 +y^2+z^2= 2x-4y+4 를 만족하는 것은 x2−2x+y2+4y+z2=4x^2-2x +y^2+4y+z^2= 4 를 만족하는 것과 필요충분조건이고, 이는 (x−1)2+(y+2)2+z2=9(x-1)^2 +(y+2)^2+z^2=9 와 같다. (x−1)2+(y+2)2+z2\sqrt{(x-1)^2 +(y+2)^2+z^2} 은 (1,−2,0)(1, -2, 0) 에서 (x,y,z)(x,y,z) 까지의 거리이므로, 점이 주어진 방정식을 만족하는 것은 (1,−2,0)(1,-2,0) 으로부터의 거리가 3인 것과 필요충분조건이다. 따라서 구하는 집합은 (1,−2,0)(1,-2,0) 을 중심으로 하고 반지름이 3인 구이다.

(b) (a)와 같이, x2+y2+z2<2x−4y+4x^2 +y^2+z^2< 2x-4y+4 인 것은 (x−1)2+(y+2)2+z2<9(x-1)^2 +(y+2)^2+z^2<9 인 것과 필요충분조건이다. 따라서 점이 주어진 부등식을 만족하는 것은 (1,−2,0)(1,-2,0) 으로부터의 거리가 3보다 엄밀히 작은 것과 필요충분조건이다. 구하는 집합은 (1,−2,0)(1,-2,0) 을 중심으로 하고 반지름이 3인 구의 내부이다.

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