접평면과 선형근사 연습문제 — OpenStax 3권 · 4.4절 · 11번

OpenStax 3권 · 4.4절 · 11번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점에서 곡면에 접하는 평면의 방정식을 구하세요. (힌트: $z$ 를 $x$ 와 $y.)$ 에 대한 식으로 나타내어 푸세요.

$z=\ln (10{x}^{2}+2{y}^{2}+1),P(0,0,0)$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the equation for the tangent plane to the surface at the indicated point. (Hint: Solve for $z$ in terms of $x$ and $y.)$

$z=\ln (10{x}^{2}+2{y}^{2}+1),P(0,0,0)$

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정답·풀이 보기

$z=0$

원본 교재 풀이(영어)

$z=0$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.5절 · 18번우리말 번역

곡선

$\mathbf{r}(t) = t^3\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + t^2\,\hat{\mathbf{k}},\qquad (0 \le t <\infty)$

이 곡면

$z^3 + xyz -2 = 0$

과 만나는 점을 $P$ 라 합시다. $P$ 에서 곡선과 곡면이 이루는 (예각의) 각을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$\mathbf{r}(t)=\left< x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\right>$ 가 $z^3 + xyz -2 = 0$ 과 만나는 경우는

$z(t)^3+x(t)\,y(t)\,z(t)-2=0\iff \big(t^2\big)^3 + \big(t^3)(t)\big(t^2\big)-2=0 \iff 2t^6=2\iff t=1$

이다. $t$ 는 양수여야 하기 때문이다. $t=1$ 에서 곡선의 방향 벡터는

$\mathbf{r}'(1)=3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}$

이다.

$\mathbf{r}(1)=\left< 1,1,1\right>$ 에서 곡면의 법선 벡터는

${ \boldsymbol{\nabla} }(z^3+xyz)\big|_{(1,1,1)}=[yz\hat{\boldsymbol{\imath}}+xz\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(3z^2+xy)\hat{\mathbf{k}}]_{(1,1,1)} =\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\hat{\mathbf{k}}$

이다.

곡선과 곡면의 법선 벡터가 이루는 각 $\theta$ 는 다음으로 결정된다.

$\begin{aligned} \big|\left< 3,1,2\right>\big|\,\big|\left< 1,1,4\right>\big|\cos\theta =\left< 3,1,2\right> \cdot\left< 1,1,4\right> &\iff \sqrt{14}\sqrt{18}\cos\theta=12 \\ &\iff \sqrt{7\times 36}\cos\theta=12 \\ &\iff \cos\theta=\frac{2}{\sqrt{7}} \\ &\iff \theta=40.89^\circ \end{aligned}$

따라서 곡선과 곡면이 이루는 각은 $90-40.89=49.11^\circ$ (소수 둘째 자리까지)이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 접평면과 선형근사계산자동 분류