다변수 연쇄법칙

함수 $z(x,y)$ 는 모든 $x$ 와 $y$ 에 대해

$$f\big(x\,z(x,y)\,,\, y\,z(x,y)\big) =0 \tag{$*$}$$

을 만족한다. 연쇄 법칙에 의해

$$\begin{aligned} &\frac{\partial }{\partial x}\big[f\big(x\,z(x,y)\,,\, y\,z(x,y)\big)\big] \\[-0.05in] &=f_u\big(x\,z(x,y)\,,\, y\,z(x,y)\big)\frac{\partial }{\partial x}\big[x\,z(x,y)\big] + f_v\big(x\,z(x,y)\,,\, y\,z(x,y)\big)\frac{\partial }{\partial x}\big[y\,z(x,y)\big] \\ &=f_u\big(x\,z(x,y)\,,\, y\,z(x,y)\big)\,\big[z(x,y)+x\,z_x(x,y)\big] + f_v\big(x\,z(x,y)\,,\, y\,z(x,y)\big)\,y\,z_x(x,y) \\ &\frac{\partial }{\partial y}\big[f\big(x\,z(x,y)\,,\, y\,z(x,y)\big)\big] \\[-0.05in] &=f_u\big(x\,z(x,y)\,,\, y\,z(x,y)\big)\frac{\partial }{\partial y}\big[x\,z(x,y)\big] + f_v\big(x\,z(x,y)\,,\, y\,z(x,y)\big)\frac{\partial }{\partial y}\big[y\,z(x,y)\big] \\ &=f_u\big(x\,z(x,y)\,,\, y\,z(x,y)\big)\, x\,z_y(x,y) + f_v\big(x\,z(x,y)\,,\, y\,z(x,y)\big)\, \big[z(x,y)+y\,z_y(x,y)\big] \end{aligned}$$

이므로 $(*)$ 를 $x$ 에 대해, 그리고 $y$ 에 대해 미분하면

$$\begin{aligned} f_u\big(x\,z(x,y)\,,\, y\,z(x,y)\big)\,\big[z(x,y)+x\,z_x(x,y)\big] + f_v\big(x\,z(x,y)\,,\, y\,z(x,y)\big)\,y z_x(x,y) &=0 \\ f_u\big(x\,z(x,y)\,,\, y\,z(x,y)\big)\, x\,z_y(x,y) + f_v\big(x\,z(x,y)\,,\, y\,z(x,y)\big)\, \big[z(x,y)+y\,z_y(x,y)\big] &=0 \end{aligned}$$

이고, 인수를 생략하여 나타내면

$$\begin{aligned} f_u\,\big[z+x\,z_x\big] + f_v\,y z_x &=0 \\ f_u\, x\,z_y + f_v\,\big[z+y\,z_y\big] &=0 \end{aligned}$$

이다. 첫 번째 식을 $z_x$ 에 대해, 두 번째 식을 $z_y$ 에 대해 풀면

$$\begin{aligned} z_x & = -\frac{z\,f_u}{x\,f_u+y\,f_v} \\ z_y & = -\frac{z\,f_v}{x\,f_u+y\,f_v} \end{aligned}$$

이므로

$$\begin{aligned} x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{xz\,f_u}{x\,f_u+y\,f_v} -\frac{yz\,f_v}{x\,f_u+y\,f_v} =-\frac{z\,(x\,f_u+y\,f_v)}{x\,f_u+y\,f_v} = -z \end{aligned}$$

이다. 따라서 주어진 등식이 성립한다.

참고: 이는 물론 $x\,f_u+y\,f_v$ 가 0이 아니라는 가정 아래에서이다. 연쇄 법칙에 의해 이 가정은 $\frac{\partial }{\partial z}\big[f(xz,yz)\big]$ 가 0이 아니라는 가정과 같다. 이는 다시 $f(xz,yz)=0$ 을 $x$ 와 $y$ 의 함수로서 $z$ 에 대해 풀 수 있다는 진술과 거의 같지만, 완전히 같지는 않다.