다변수 연쇄법칙 연습문제 — OpenStax 3권 · 4.5절 · 23번

OpenStax 3권 · 4.5절 · 23번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 편도함수를 이용하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

${e}^{xy}+y{e}^{y}=1$

영어 원문 보기

For the following exercises, find $\frac{dy}{dx}$ using partial derivatives.

${e}^{xy}+y{e}^{y}=1$

정답·풀이 보기

$\frac{dy}{dx}=-\frac{y{e}^{xy}}{x{e}^{xy}+{e}^{y}(1+y)}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{dy}{dx}=-\frac{y{e}^{xy}}{x{e}^{xy}+{e}^{y}(1+y)}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.4절 · 13번우리말 번역

$f(x)$ 와 $g(x)$ 가 $x$ 에 대한 두 함수이고 $f''(7) = -2$ 이고 $g''(-4) = -1$ 을 만족시킨다고 하자. $z = h(s,t) = f(2s + 3t) + g(s - 6t)$ 가 $s$ 와 $t$ 에 대한 함수일 때, $s = 2$ 이고 $t = 1$ 일 때 $\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}$ 의 값을 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} \frac{\partial h}{\partial t}(s,t) &=\frac{\partial }{\partial t}\big[f(2s + 3t)\big] + \frac{\partial }{\partial t}\big[g(s - 6t)\big] \\ &=f'(2s + 3t)\frac{\partial }{\partial t}(2s+3t) + g(s - 6t)\frac{\partial }{\partial t}(s-6t) \\ &= 3f'(2s + 3t) - 6g'(s - 6t) \\ \frac{\partial^2 h}{\partial t^2}(s,t) &= 3\frac{\partial }{\partial t}\big[f'(2s + 3t)\big] - 6\frac{\partial }{\partial t}\big[ g'(s - 6t) \big] \\ &= 3\,f''(2s + 3t)\frac{\partial }{\partial t}(2s+3t) - 6\,g''(s - 6t) \frac{\partial }{\partial t}(s-6t) \\ &= 9f''(2s+3t) + 36g''(s-6t) \end{aligned}$

특히

$\begin{aligned} \frac{\partial^2 h}{\partial t^2}(2,1) =9f''(7) +36g''(-4) =9(-2) +36(-1) =-54 \end{aligned}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

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