다변수 연쇄법칙

기본 가정은 세 양 $x$, $y$, $z$ 가 서로 독립이 아니라는 것이다. 이 중 어느 두 개가 주어지면 나머지 하나가 유일하게 정해진다. 이들이 관계식 $F(x,y,z)=0$ 을 만족한다고 가정하면, 이 식을 풀어서

• $x$ 를 $y$ 와 $z$ 의 함수로 정할 수 있고(예를 들어 $x=f(y,z)$), 또한
• $y$ 를 $x$ 와 $z$ 의 함수로 정할 수 있고(예를 들어 $y=g(x,z)$), 또한
• $z$ 를 $x$ 와 $y$ 의 함수로 정할 수 있다 (예를 들어 $z=h(x,y)$).

예를 들어 $F(x,y,z) = xyz-1$ 이면

• $F(x,y,z)=xyz-1=0$ 으로부터 $x=\frac{1}{yz}=f(y,z)$ 이고,
• $F(x,y,z)=xyz-1=0$ 으로부터 $y=\frac{1}{xz}=g(x,z)$ 이고,
• $F(x,y,z)=xyz-1=0$ 으로부터 $z=\frac{1}{xy}=h(x,y)$ 이다.

일반적으로 $F(x,y,z)=0$ 이 $x=f(y,z)$ 를 정한다는 것은

$$F\big(f(y,z),y,z\big)=0 \tag{$*$}$$

이 모든 $y$ 와 $z$ 에 대해 성립한다는 뜻이다. $\mathcal{F}(y,z)=F\big(f(y,z),y,z\big)$ 라 하자. $\mathcal{F}(y,z)=F\big(f(y,z),y,z\big)$ 에 ($y$ 와 $z$ 를 독립변수로 보고) 연쇄 법칙을 적용하면

$$\begin{aligned} \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial z}(y,z) &= \frac{\partial F}{\partial x}\big(f(y,z),y,z\big) \frac{\partial f}{\partial z}(y,z) +\frac{\partial F}{\partial z}\big(f(y,z),y,z\big) \end{aligned}$$

이다.

등식 $(*)$ 는 모든 $y$ 와 $z$ 에 대해 $\mathcal{F}(y,z)=F\big(f(y,z),y,z\big)=0$ 임을 뜻한다. 따라서 등식 $(*)$ 를 $z$ 에 대해 미분하면

$$\begin{aligned} \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial z}(y,z)&=\frac{\partial F}{\partial x}\big(f(y,z),y,z\big) \frac{\partial f}{\partial z}(y,z) +\frac{\partial F}{\partial z}\big(f(y,z),y,z\big)=0 \\ &\implies \frac{\partial f}{\partial z}(y,z) =-\frac{\frac{\partial F}{\partial z}\big(f(y,z),y,z\big)} {\frac{\partial F}{\partial x}\big(f(y,z),y,z\big)} \end{aligned}$$

이 모든 $y$ 와 $z$ 에 대해 성립한다. 마찬가지로 $F\big(x,g(x,z),z\big)=0$ 을 $x$ 에 대해 미분하고 $F\big(x,y,h(x,y)\big)=0$ 을 $y$ 에 대해 미분하면

$$\begin{aligned} \frac{\partial g}{\partial x}(x,z) =-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}\big(x,g(x,z),z\big)} {\frac{\partial F}{\partial y}\big(x,g(x,z),z\big)}\qquad \frac{\partial h}{\partial y}(x,y) =-\frac{\frac{\partial F}{\partial y}\big(x,y,h(x,y)\big)} {\frac{\partial F}{\partial z}\big(x,y,h(x,y)\big)} \end{aligned}$$

를 얻는다.

$(x,y,z)$ 가 $F(x,y,z)=0$ 을 만족하는 임의의 점이면 (따라서 $x=f(y,z)$, $y=g(x,z)$, $z=h(x,y)$ 이다),

$$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial z}(y,z) =-\frac{\frac{\partial F}{\partial z}\big(x,y,z\big)} {\frac{\partial F}{\partial x}\big(x,y,z\big)}\qquad \frac{\partial g}{\partial x}(x,z) =-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}\big(x,y,z\big)} {\frac{\partial F}{\partial y}\big(x,y,z\big)}\qquad \frac{\partial h}{\partial y}(x,y) =-\frac{\frac{\partial F}{\partial y}\big(x,y,z\big)} {\frac{\partial F}{\partial z}\big(x,y,z\big)} \end{aligned}$$

이고,

$$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial z}(y,z)\ \frac{\partial g}{\partial x}(x,z)\ \frac{\partial h}{\partial y}(x,y) &=-\frac{\frac{\partial F}{\partial z}\big(x,y,z\big)} {\frac{\partial F}{\partial x}\big(x,y,z\big)}\ \frac{\frac{\partial F}{\partial x}\big(x,y,z\big)} {\frac{\partial F}{\partial y}\big(x,y,z\big)}\ \frac{\frac{\partial F}{\partial y}\big(x,y,z\big)} {\frac{\partial F}{\partial z}\big(x,y,z\big)} \\ &=-1 \end{aligned}$$

이다.