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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

다변수 연쇄법칙

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 3권 · 4.5절 · 39번대학 수준우리말 번역

직원뿔의 반지름은 33 cm/min 의 비율로 증가하고, 원뿔의 높이는 22 cm/min 의 비율로 감소하고 있습니다. 반지름이 1313 cm 이고 높이가 1818 cm 일 때, 원뿔의 부피의 변화율을 구하세요.

영어 원문 보기

The radius of a right circular cone is increasing at 33 cm/min whereas the height of the cone is decreasing at 22 cm/min. Find the rate of change of the volume of the cone when the radius is 1313 cm and the height is 1818 cm.

정답·풀이 보기

dVdt=1066π3cm3/min⁡\frac{dV}{dt}=\frac{1066\pi }{3}{\text{cm}}^{3}/\min

원본 교재 풀이(영어)

dVdt=1066π3cm3/min⁡\frac{dV}{dt}=\frac{1066\pi }{3}{\text{cm}}^{3}/\min

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.4절 · 9번우리말 번역

f(x,y)f(x,y) 가 라플라스 방정식 ∂2f∂x2+∂2f∂y2=0\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0 을 만족시킨다고 가정하세요. 합성함수 g(s,t)=f(s−t,s+t)g(s,t) = f (s - t, s + t) 에 대해서도 같은 식이 성립함을 보이세요. 즉, ∂2g∂s2+∂2g∂t2=0\frac{\partial^2 g}{\partial s^2}+\frac{\partial^2 g}{\partial t^2}=0 임을 보이세요. f(x,y)f(x,y) 는 매끄러운 함수여서 연쇄 법칙과 혼합 편도함수의 같음에 관한 클레로의 정리를 적용할 수 있다고 가정해도 됩니다.

다 풀었으면 정답 확인

연쇄 법칙에 의해,

∂g∂s(s,t)=∂∂sf(s−t,s+t)=∂f∂x(s−t , s+t)∂∂s(s−t)+∂f∂y(s−t , s+t)∂∂s(s+t)=∂f∂x(s−t , s+t)+∂f∂y(s−t , s+t)∂2g∂s2(s,t)=∂∂s[∂f∂x(s−t , s+t)]+∂∂s[∂f∂y(s−t , s+t)]=∂2f∂x2(s−t , s+t)+∂2f∂y∂x(s−t , s+t)+∂2f∂x∂y(s−t , s+t)+∂2f∂y2(s−t , s+t)={∂2f∂x2(s−t , s+t)+2∂2f∂x∂y(s−t , s+t)+∂2f∂y2(s−t , s+t)}\begin{aligned} \frac{\partial g}{\partial s}(s,t) &=\frac{\partial }{\partial s} f (s - t, s + t) \\ &= \frac{\partial f}{\partial x}\big(s-t\,,\,s+t\big)\frac{\partial }{\partial s}\big(s-t\big) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(s-t\,,\,s+t\big)\frac{\partial }{\partial s}\big(s+t\big) \\ &= \frac{\partial f}{\partial x}\big(s-t\,,\,s+t\big) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(s-t\,,\,s+t\big) \\ \frac{\partial^2 g}{\partial s^2}(s,t) &= \frac{\partial }{\partial s}\left[\frac{\partial f}{\partial x}\big(s-t\,,\,s+t\big)\right] + \frac{\partial }{\partial s}\left[\frac{\partial f}{\partial y}\big(s-t\,,\,s+t\big)\right] \\ &= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\big(s-t\,,\,s+t\big) +\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\big(s-t\,,\,s+t\big) \\ & + \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\big(s-t\,,\,s+t\big) +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\big(s-t\,,\,s+t\big) \\ &=\left\{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\big(s-t\,,\,s+t\big) + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\big(s-t\,,\,s+t\big) +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\big(s-t\,,\,s+t\big)\right\} \end{aligned}

이고

∂g∂t(s,t)=∂∂tf(s−t,s+t)=∂f∂x(s−t , s+t)∂∂t(s−t)+∂f∂y(s−t , s+t)∂∂t(s+t)=−∂f∂x(s−t , s+t)+∂f∂y(s−t , s+t)∂2g∂t2(s,t)=−∂∂t[∂f∂x(s−t , s+t)]+∂∂t[∂f∂y(s−t , s+t)]=−[−∂2f∂x2(s−t , s+t)+∂2f∂y∂x(s−t , s+t)]+[−∂2f∂x∂y(s−t , s+t)+∂2f∂y2(s−t , s+t)]={∂2f∂x2(s−t , s+t)−2∂2f∂x∂y(s−t , s+t)+∂2f∂y2(s−t , s+t)}\begin{aligned} \frac{\partial g}{\partial t}(s,t)&=\frac{\partial }{\partial t} f (s - t, s + t) \\ &= \frac{\partial f}{\partial x}\big(s-t\,,\,s+t\big)\frac{\partial }{\partial t}\big(s-t\big) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(s-t\,,\,s+t\big)\frac{\partial }{\partial t}\big(s+t\big) \\ &= -\frac{\partial f}{\partial x}\big(s-t\,,\,s+t\big) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(s-t\,,\,s+t\big) \\ \frac{\partial^2 g}{\partial t^2}(s,t) &=- \frac{\partial }{\partial t}\left[\frac{\partial f}{\partial x}\big(s-t\,,\,s+t\big)\right] + \frac{\partial }{\partial t}\left[\frac{\partial f}{\partial y}\big(s-t\,,\,s+t\big)\right] \\ &= - \Big[-\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \big(s-t\,,\,s+t\big) +\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\big(s-t\,,\,s+t\big)\Big] \\ & + \Big[-\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \big(s-t\,,\,s+t\big) +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\big(s-t\,,\,s+t\big) \Big] \\ &=\left\{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\big(s-t\,,\,s+t\big) - 2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\big(s-t\,,\,s+t\big) +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\big(s-t\,,\,s+t\big)\right\} \end{aligned}

이다. 인수를 생략하면

∂2g∂s2+∂2g∂t2={∂2f∂x2+2∂2f∂x∂y+∂2f∂y2}+{∂2f∂x2−2∂2f∂x∂y+∂2f∂y2}=2[∂2f∂x2+∂2f∂y2]=0\begin{aligned} \frac{\partial^2 g}{\partial s^2} + \frac{\partial^2 g}{\partial t^2} &=\left\{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right\} +\left\{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} - 2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right\} \\ &=2\left[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right] \\ &=0 \end{aligned}

이므로 원하는 결과가 얻어진다.

이 문제로 이어서 풀기
# 다변수 연쇄법칙활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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