원기둥·구면좌표 삼중적분

(a) 원통좌표계에서

• $x^2+y^2+z^2\le 1$ 은 $r^2+z^2\le 1$ 이고
• $x^2+y^2\le z^2$ 은 $r^2\le z^2$ 이고
• $\mathrm{d}V$ 는 $r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z$ 이다.

$r^2+z^2= 1$ 과 $r^2= z^2$ 은 $r^2=z^2=\frac{1}{2}$ 일 때 만난다. 다음은 $E$ 의 $y=0$ 단면의 그림이다.

따라서

$$E =\big\{ \ (r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\,,\,z)\ \big|\ 0\le r\le{1}/{\sqrt{2}},\ 0\le\theta\le2\pi,\ r\le z\le \sqrt{1-r^2}\ \big\}$$

이고

$$\begin{aligned} J &=\iiint _E \sqrt{x^2+y^2+z^2}\ \mathrm{d}V =\int_0^{1/\sqrt{2}}\mathrm{d}r\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_r^{\sqrt{1-r^2}}\mathrm{d}z\ r\sqrt{r^2+z^2} \end{aligned}$$

이다.

(b) 구면좌표계에서

• $x^2+y^2+z^2\le 1$ 은 $\rho\le 1$ 이고
• $x^2+y^2\le z^2$ 은 $\rho^2\sin^2\varphi\le \rho^2\cos^2\varphi$, 즉 $\tan\varphi\le 1$ 또는 $\varphi\le\frac{\pi}{4}$ 이고,
• $\mathrm{d}V$ 는 $\rho^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi$ 이다.

따라서

$$E =\big\{ \ (\rho\sin\varphi\cos\theta\,,\,\rho\sin\varphi\sin\theta\,,\, \rho\cos\varphi)\ \big|\ 0\le\rho\le 1,\ 0\le\theta\le2\pi,\ 0\le \varphi\le {\pi}/{4}\ \big\}$$

이고, 피적분함수 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\rho$ 이므로

$$\begin{aligned} J &=\iiint _E \sqrt{x^2+y^2+z^2}\ \mathrm{d}V =\int_0^{1}\mathrm{d}\rho\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\varphi\ \rho^2\sin\varphi\ \rho \\ &=\int_0^{1}\mathrm{d}\rho\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\varphi\ \rho^3\sin\varphi \end{aligned}$$

이다.

(c) 구면좌표계로 나타낸 식을 이용하여 값을 구한다.

$$\begin{aligned} J &=\int_0^{1}\mathrm{d}\rho\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\varphi\ \rho^3\sin\varphi \\ &=2\pi \int_0^{1}\mathrm{d}\rho\ \rho^3 \Big[-\cos\varphi\Big]_0^{\pi/4} =2\pi\ \frac{1}{4}\ \left[1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right] \\ &=\frac{\pi}{2}\ \left[1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right] \end{aligned}$$