면적분과 플럭스

먼저 다음을 관찰하자.

• $(x+y+1)^2\ge 0$ 이므로, $(x+y+1)^2+z^2=4$ 위의 모든 점은 $|z|\le 2$ 이다. 그리고,
• $|z_0|\le 2$ 일 때, 곡면 $(x+y+1)^2+z^2=4$ 는 수평면 $z=z_0$ 와 $(x+y+1)^2 = 4-z_0^2$ 에서 만난다. 즉 두 직선 $x+y=\pm\sqrt{4-z_0^2}-1$, $z=z_0$ 에서 만난다.
• 직선 $x+y=\pm\sqrt{4-z_0^2}-1$, $z=z_0$ 가 제1팔분공간과 만나는 것은 $z_0\ge0$ 이고 $\pm\sqrt{4-z_0^2}-1\ge 0$ 일 때, 그리고 그때에 한한다.
• 따라서 $x+y=-\sqrt{4-z_0^2}-1$, $z=z_0$ 는 제1팔분공간과 절대 만나지 않고,
• $x+y=\sqrt{4-z_0^2}-1$, $z=z_0$ 가 제1팔분공간과 만나는 것은 $0\le z_0\le \sqrt{3}$ 일 때, 그리고 그때에 한한다.
• $z_0=0$ 일 때, 직선 $x+y=\sqrt{4-z_0^2}-1$, $z=z_0$ 는 $x+y=1$, $z=0$ 이다.
• $z_0=\sqrt{3}$ 일 때, 직선 $x+y=\sqrt{4-z_0^2}-1$, $z=z_0$ 는 $x+y=0$, $z=2$ 이다.
• 그러므로 $(x,y,z)$ 가 $\mathcal{S}$ 위를 움직일 때, $(x,y)$ 는 삼각형 $x\ge0$, $y\ge 0$, $x+y\le 1$ 위를 움직인다.

$G(x,y,z)=(x+y+1)^2+z^2$ 이라 하자. 그러면 $$\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S=\pm\frac{{ \boldsymbol{\nabla} } G}{{ \boldsymbol{\nabla} } G\cdot\hat{\mathbf{k}}}\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y =\pm\frac{2(x+y+1)\hat{\boldsymbol{\imath}}+2(x+y+1)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2z\hat{\mathbf{k}}}{2z}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$ 아래쪽 법선을 택하려면 음의 부호가 필요하므로

$$\begin{aligned} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=-\big[xy\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+(z-xy)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big]\cdot \Big[\frac{(x+y+1)\hat{\boldsymbol{\imath}}+(x+y+1)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\hat{\mathbf{k}}}{z}\Big]\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ &=-\frac{1}{z}\big[xy(x+y+1)+(z-xy)(x+y+1)\big]\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ &=-\frac{1}{z}\big[z(x+y+1)\big]\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ &=-(x+y+1)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned}$$

적분 정의역은 $x\ge 0,\ y\ge 0,\ x+y\le 1$ 이므로

$$\begin{aligned} \iint _\mathcal{S}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=-\int_0^1 \mathrm{d}x\int_0^{1-x} \mathrm{d}y \ (x+y+1) =-\int_0^1 \mathrm{d}x\ \Big[(1+x)(1-x)+\frac{1}{2}(1-x)^2\Big]\\ &=-\int_0^1 \mathrm{d}x\ \Big[\frac{3}{2}-x-\frac{1}{2} x^2\Big] =-\Big[\frac{3}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\Big] =-\frac{5}{6} \end{aligned}$$