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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

발산 정리

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 3권 · 6.8절 · 48번대학 수준우리말 번역

발산 정리를 이용하여 ∬SF⋅dS{\iint }_{S}\text{F}\cdot d\text{S} 의 값을 구하세요. 여기서 F(x,y,z)=xi+yj+zk\text{F}(x,y,z)=x\text{i}+y\text{j}+z\text{k} 이고 S 는 포물면 y=x2+z2−2y={x}^{2}+{z}^{2}-2, 원기둥 x2+z2=1{x}^{2}+{z}^{2}=1, 평면 x+y=2x+y=2 로 둘러싸인 입체의 경계이며, S 는 바깥쪽으로 향하는 방향이 주어져 있다.

영어 원문 보기

Use the divergence theorem to evaluate ∬SF⋅dS,{\iint }_{S}\text{F}\cdot d\text{S}, where F(x,y,z)=xi+yj+zk\text{F}(x,y,z)=x\text{i}+y\text{j}+z\text{k} and S is the boundary of the solid enclosed by paraboloid y=x2+z2−2,y={x}^{2}+{z}^{2}-2, cylinder x2+z2=1,{x}^{2}+{z}^{2}=1, and plane x+y=2,x+y=2, and S is oriented outward.

정답·풀이 보기

∬SF⋅dS=21π2{\iint }_{S}\text{F}\cdot d\text{S}=\frac{21\pi }{2}

원본 교재 풀이(영어)

∬SF⋅dS=21π2{\iint }_{S}\text{F}\cdot d\text{S}=\frac{21\pi }{2}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 4.2절 · 18번우리말 번역

면적분

∬SF⋅n^ dS\iint _S \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S

의 값을 구하세요. 여기서 F(x,y,z)=(cos⁡z+xy2 , xe−z , sin⁡y+x2z)\mathbf{F}(x, y, z) = \big(\cos z + xy^2\,,\, xe^{-z}\,,\, \sin y + x^2 z\big) 이고 SS 는 포물면 z=x2+y2z = x^2 + y^2 과 평면 z=4z = 4 로 둘러싸인 입체 영역의 경계이며, 법선벡터는 바깥쪽을 향합니다.

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F\mathbf{F} 가 복잡해 보이므로 플럭스 적분을 직접 계산하는 것은 피하는 것이 좋을 것이다. 먼저 F\mathbf{F} 의 발산을 계산하여, 대신 발산 정리를 쓰는 것이 좋을지 살펴보자.

∇⋅F=∂∂x(cos⁡z+xy2)+∂∂y(xe−z)+∂∂z(sin⁡y+x2z)=y2+x2\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial }{\partial x}\big(\cos z + xy^2\big) +\frac{\partial }{\partial y}\big(xe^{-z}\big) +\frac{\partial }{\partial z}\big(\sin y + x^2 z\big) =y^2+x^2 \end{aligned}

쓸 만해 보인다. 게다가 SS 는 다음 입체 영역의 경계이다.

V={ (x,y,z) ∣ x2+y2≤z≤4 }−45pt[65pt][30pt]![그림](clp/clp4−OE07A4.png)V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le z\le 4\ \big\} {-45pt}[65pt][30pt]{ ![그림](clp/clp4-OE07A_4.png) }

따라서 발산 정리에 의해 다음을 얻는다.

∬SF⋅n^ dS=∭V∇⋅F dV=∭V(x2+y2) dV\begin{aligned} \iint _S \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\ \mathrm{d}V =\iiint _V (x^2+y^2)\ \mathrm{d}V \end{aligned}

삼중적분을 계산하기 위해 원기둥 좌표 (r,θ,z)(r,\theta,z) 를 사용한다. zz 좌표는 00 부터 44 까지 변한다. 0≤z≤40\le z \le 4 인 각 고정된 zz 에 대해 (아래 그림의 파란 원판을 보라. 그림은 VV 의 제1팔분공간에 있는 부분을 나타낸다)

그림

(x,y)(x,y) 는 0≤x2+y2≤z0\le x^2+y^2 \le z 의 범위를 움직이며, 이는 원기둥 좌표로 0≤r2≤z0\le r^2\le z 또는 0≤r≤z0\le r\le\sqrt{z} 이다. 따라서 플럭스와 삼중적분은 다음과 같다.

∬SF⋅n^ dS=∭V(x2+y2) dV=∫04dz∫0zdr r∫02πdθ r2=2π∫04dz∫0zdr r3=2π∫04dz z24=2π433×4=323π\begin{aligned} \iint _S \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\iiint _V (x^2+y^2)\ \mathrm{d}V \\ &=\int_0^4\mathrm{d}z\int_0^{\sqrt{z}}\mathrm{d}r\ r\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ r^2 \\ &=2\pi \int_0^4\mathrm{d}z\int_0^{\sqrt{z}}\mathrm{d}r\ r^3 \\ &=2\pi \int_0^4\mathrm{d}z\ \frac{z^2}{4} =2\pi \frac{4^3}{3\times 4}\\ &=\frac{32}{3}\pi \end{aligned}

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