수열의 귀납적 정의 연습문제 — Sundstrom, Mathematical Reasoning · 4.3절 · 12a번

Sundstrom, Mathematical Reasoning · 4.3절 · 12a번영어 원문

For the sequence $a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n , \ldots$ , assume that $a_1 = 1$ and that for each $n \in \mathbb{N}$ , $a_{n + 1} = \sqrt {5 + a_n }$ .

Calculate, or approximate, $a_2$ through $a_6$ .

정답·풀이 보기 (영어 원문)

$a_2 = \sqrt{6}$ , $a_3 = \sqrt{\sqrt{6} + 5} \approx 2.729$ , $a_4 \approx 2.780$ , $a_5 \approx 2.789$ , $a_6 \approx 2.791$

한 번 더 — 비슷한 문제Sundstrom, Mathematical Reasoning · 4.3절 · 12b번영어 원문

For the sequence $a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n , \ldots$ , assume that $a_1 = 1$ and that for each $n \in \mathbb{N}$ , $a_{n + 1} = \sqrt {5 + a_n }$ .

Prove that for each $n \in \mathbb{N}$ , $a_n \lt 3$ .

다 풀었으면 정답 확인

Let $P( n )$ be, “ $a_n \lt 3$ .” Since $a_1 = 1$ , $P( 1 )$ is true. For $k \in \mathbb{N}$ , if $P( k )$ is true, then $a_k \lt 3$ . Now

$a_{k+1} = \sqrt{5 + a_k}$

. Since $a_k \lt 3$ , this implies that $a_{k+1} \lt \sqrt{8}$ and hence, $a_{k+1} \lt 3$ . This proves that if $P \left( k \right)$ is true, then $P \left( k + 1\right)$ is true.

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