수열의 귀납적 정의 연습문제 — Sundstrom, Mathematical Reasoning · 4.3절 · 2c번

Sundstrom, Mathematical Reasoning · 4.3절 · 2c번영어 원문

Assume that $f_1 ,f_2 , \ldots ,f_n , \ldots$ are the Fibonacci numbers. Prove each of the following:

For each $n \in \mathbb{N}$ with $n \geq 2$ , $f_1 + f_2 + \cdots + f_{n - 1} = f_{n + 1} - 1$ .

정답·풀이 보기 (영어 원문)

Let $P( n )$ be, “ $f_1 + f_2 + \cdots + f_{n - 1} = f_{n + 1} - 1$ .” Since $f_1 = f_3 - 1$ , $P ( 2 )$ is true. For $k \geq 2$ , if $P ( k )$ is true, then $f_1 + f_2 + \cdots + f_{k - 1} = f_{k + 1} - 1$ . Then

$\begin{aligned}\left( f_1 + f_2 + \cdots + f_{k - 1} \right) + f_k & = \left( f_{k + 1} - 1 \right) + f_k \\ & = \left( f_{k+1} + f_k \right) - 1 \\ & = f_{k+2} - 1\end{aligned}$

. This proves that if $P \left( k \right)$ is true, then $P \left( k + 1\right)$ is true.

한 번 더 — 비슷한 문제Sundstrom, Mathematical Reasoning · 4.3절 · 9b번영어 원문

For the sequence $a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n , \ldots$ , assume that $a_1 = 2$ and that for each $n \in \mathbb{N}$ , $a_{n + 1} = a_n + 5$ .

Make a conjecture for a formula for $a_n$ for each $n \in \mathbb{N}$ .

다 풀었으면 정답 확인

One possibility is: For each $n \in \mathbb{N}$ , $a_n = 2 + 5(n - 1)$ .

이 문제로 이어서 풀기

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