부정적분의 뜻과 계산 연습문제

1.OpenStax 1권 · 4.10절 · 55번우리말 풀이

다음 문제에서 $F(0)=0$ 이라 할 때 함수의 부정적분을 구하세요.

[계산기 사용] $f(x)=\frac{1}{(x+1)^2}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the antiderivative of the function, assuming $F(0)=0.$

[T] $f(x)=\frac{1}{{(x+1)}^{2}}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

일반형 $F(x)=\cdots+C$ 를 먼저 구하고, 주어진 조건 $F(0)=0$ 으로 $C$ 를 정해요.

1
$f(x)=(x+1)^{-2}$ 로 써요. $x+1$ 을 한 덩어리로 보면 $\int(x+1)^{-2}dx=\frac{(x+1)^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{x+1}+C$ 예요. 미분해 보면 $\left(-\frac{1}{x+1}\right)'=\frac{1}{(x+1)^2}$ 로 맞아요.
2
이제 $F(0)=0$ 을 써요. $F(0)=-\frac{1}{0+1}+C=-1+C=0$ 이므로 $C=1$ 이에요.
3
따라서 $F(x)=-\frac{1}{x+1}+1$ 이에요.

답

$F(x)=-\frac{1}{x+1}+1$

자주 하는 실수

$\int (x+1)^{-2}dx$ 에서 부호를 놓쳐 $+\frac{1}{x+1}$ 로 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$F(x)=-\frac{1}{(x+1)}+1$