평균변화율과 미분계수 연습문제 — Active Calculus · 1.1절 · 11번

Active Calculus · 1.1절 · 11번우리말 번역

미국 인구 조사에 따르면 미시간주 그랜드래피즈시의 인구는 1980년에 181,843명, 1990년에 189,126명, 2000년에 197,800명이었다.

(a) 1980년부터 2000년까지 그랜드래피즈의 인구는 몇 명 늘었는지 구하세요. (b) 1980년부터 2000년까지 평균적으로 1년 동안 그랜드래피즈의 인구는 몇 명 늘었는지 구하세요. (c) 위치의 변화량을 시간의 변화량으로 나누어 움직이는 물체의 평균 속도를 구할 수 있는 것과 마찬가지로, 임의의 함수 $f$ 의 평균변화율도 구할 수 있다. 구체적으로, 구간 $[a,b]$ 에서 함수 $f$ 의 평균변화율은 다음 몫이다. $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,.$ 구간 $[a,b]$ 에서 $y = f(x)$ 의 그래프 위의 어떤 값을 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 가 나타내는지 설명하세요. (d) $P(t)$ 는 시각 $t$ 에서 그랜드래피즈의 인구를 나타내고, $t$ 는 1980년 1월 1일부터 지난 햇수라고 하자. 구간 $t = 0$ 부터 $t = 20$ 까지에서 $P$ 의 평균변화율을 구하세요. 이 값의 단위는 무엇인지 구하세요. (e) 그랜드래피즈의 인구가 10년마다 약 4%의 비율로 증가한다고 가정하면, 인구 함수를 다음 식으로 나타낼 수 있다. $P(t) = 181843 (1.04)^{t/10}\,.$ 이 식을 이용하여 구간 $[5,10]$ , $[5,9]$ , $[5,8]$ , $[5,7]$ , $[5,6]$ 에서 인구의 평균변화율을 구하세요. (f) 1985년 1월 1일에 그랜드래피즈의 인구는 얼마나 빠르게 변하고 있었다고 생각하나요? 다시 말해, 1985년 1월 1일 현재 그랜드래피즈의 인구에 사람들이 어느 정도의 비율로 더해지고 있었다고 생각하나요? 그다음 1년 동안 이 도시는 몇 명이 더 늘어날 것으로 예상해야 하나요? 그 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

According to the U.S. census, the population of the city of Grand Rapids, MI, was 181,843 in 1980; 189,126 in 1990; and 197,800 in 2000.

(a) Between 1980 and 2000, by how many people did the population of Grand Rapids grow? (b) In an average year between 1980 and 2000, by how many people did the population of Grand Rapids grow? (c) Just like we can find the average velocity of a moving body by computing change in position over change in time, we can compute the average rate of change of any function $f$ . In particular, the average rate of change of a function $f$ over an interval $[a,b]$ is the quotient $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,.$ What does the quantity $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ measure on the graph of $y = f(x)$ over the interval $[a,b]$ ? (d) Let $P(t)$ represent the population of Grand Rapids at time $t$ , where $t$ is measured in years from January 1, 1980. What is the average rate of change of $P$ on the interval $t = 0$ to $t = 20$ ? What are the units on this quantity? (e) If we assume the population of Grand Rapids is growing at a rate of approximately 4% per decade, we can model the population function with the formula $P(t) = 181843 (1.04)^{t/10}\,.$ Use this formula to compute the average rate of change of the population on the intervals $[5,10]$ , $[5,9]$ , $[5,8]$ , $[5,7]$ , and $[5,6]$ . (f) How fast do you think the population of Grand Rapids was changing on January 1, 1985? Said differently, at what rate do you think people were being added to the population of Grand Rapids as of January 1, 1985? How many additional people should the city have expected in the following year? Why?

정답·풀이 보기

(a) 인구의 변화량은 $P(2000) - P(1980) = 197 800 - 181 843 = 15 957$ 명이다. (b) 1980년부터 2000년까지 20년 동안 그랜드래피즈에 $15 957$ 명이 늘었으므로, 평균적으로 1년 동안 인구는 $\frac{15,957}{20} \approx 798$ 명/년 늘었다. (c) $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{\Delta f}{\Delta x}$ 는 두 점 $(a,f(a))$ 와 $(b,f(b))$ 를 지나는 할선의 기울기를 나타낸다. (d) $AV_{[0,20]}=\frac{P(20)-P(0)}{20-0}=\frac{197 800 - 181 843}{20}=\frac{15 957}{20} \approx 798$ 명/년이다. (e) $\begin{aligned}AV_{[5,10]} &=\frac{P(10) - P(5)}{10-5} = \frac{189 116.72 - 185 444.20}{10-5} \approx 734.50 \\ AV_{[5,9]} &= \frac{188 376.44 - 185 444.20}{9-5} \approx 733.06 \\ AV_{[5,8]} &= \frac{187 639.06 - 185,444.20}{8-5} \approx 731.62 \\ AV_{[5,7]} &= \frac{186 904.57 - 185,444.20}{7-5} \approx 730.19 \\ AV_{[5,6]} &= \frac{186 172.95 - 185,444.20}{6-5} \approx 728.7535\end{aligned}$ 이 값들의 단위는 각각 “명/년”이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The change in population is $P(2000) - P(1980) = 197 800 - 181 843 = 15 957$ people. (b) Since there were $15 957$ people added to Grand Rapids over the 20 years from 1980 to 2000, in an average year the population grew by $\frac{15,957}{20} \approx 798$ people/year. (c) $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{\Delta f}{\Delta x}$ measures the slope of a secant line through the points $(a,f(a))$ and $(b,f(b))$ . (d) $AV_{[0,20]}=\frac{P(20)-P(0)}{20-0}=\frac{197 800 - 181 843}{20}=\frac{15 957}{20} \approx 798$ people per year. (e) $\begin{aligned}AV_{[5,10]} &=\frac{P(10) - P(5)}{10-5} = \frac{189 116.72 - 185 444.20}{10-5} \approx 734.50 \\ AV_{[5,9]} &= \frac{188 376.44 - 185 444.20}{9-5} \approx 733.06 \\ AV_{[5,8]} &= \frac{187 639.06 - 185,444.20}{8-5} \approx 731.62 \\ AV_{[5,7]} &= \frac{186 904.57 - 185,444.20}{7-5} \approx 730.19 \\ AV_{[5,6]} &= \frac{186 172.95 - 185,444.20}{6-5} \approx 728.7535\end{aligned}$ The units on each of these quantities are “people per year”.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.1절 · 27번우리말 번역

다음 함수 $y=f(x)$ 에 대해, ${f}^{'}(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 을 이용하여 ${f}^{'}(a)$ 를 구하세요.

$f(x)=\frac{1}{x},a=2$

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$-\frac{1}{4}$

이 문제로 이어서 풀기

# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류