함수의 극한의 뜻 연습문제 — Active Calculus · 1.2절 · 8번

Active Calculus · 1.2절 · 8번우리말 번역

함수 $f(x) = \frac{16-x^4}{x^2-4}$ 을 생각하세요.

(a) $f$ 의 정의역은 무엇인가요? (b) $a = 2$ 근처의 $x$ 값들의 수열을 이용하여, 극한이 존재한다고 생각하면 $\lim_{x \to 2} f(x)$ 의 값을 어림하세요. 극한이 존재하지 않는다고 생각하면 그 이유를 설명하세요. (c) 대수적 방법으로 식 $\frac{16-x^4}{x^2-4}$ 을 간단히 하고, 이를 이용하여 $\lim_{x \to 2} f(x)$ 가 존재하면 그 값을 정확히 구하고, 존재하지 않으면 풀이 과정이 어떻게 극한이 존재하지 않음을 보여 주는지 설명하세요. 이 결과가 (b)의 결과와 어떻게 비교되는지 논하세요. (d) 참 또는 거짓: $f(2) = -8$ . 그 이유는 무엇인가요? (e) 참 또는 거짓: $\frac{16-x^4}{x^2-4} = -4-x^2$ . 그 이유는 무엇인가요? 이 등식은 함수 $f$ 에 대한 위의 풀이와 어떻게 연결되나요? (f) 위의 모든 풀이를 바탕으로 구간 $[1,3]$ 에서 $y = f(x)$ 의 정확하고 이름표가 붙은 그래프를 그리고, $\lim_{x \to 2} \frac{16-x^4}{x^2-4}$ 에 대해 이제 알게 된 것을 설명하는 문장을 한 문장 쓰세요.

영어 원문 보기

Consider the function whose formula is $f(x) = \frac{16-x^4}{x^2-4}$ .

(a) What is the domain of $f$ ? (b) Use a sequence of values of $x$ near $a = 2$ to estimate the value of $\lim_{x \to 2} f(x)$ , if you think the limit exists. If you think the limit doesn't exist, explain why. (c) Use algebra to simplify the expression $\frac{16-x^4}{x^2-4}$ and hence work to evaluate $\lim_{x \to 2} f(x)$ exactly, if it exists, or to explain how your work shows the limit fails to exist. Discuss how your findings compare to your results in (b). (d) True or false: $f(2) = -8$ . Why? (e) True or false: $\frac{16-x^4}{x^2-4} = -4-x^2$ . Why? How is this equality connected to your work above with the function $f$ ? (f) Based on all of your work above, construct an accurate, labeled graph of $y = f(x)$ on the interval $[1,3]$ , and write a sentence that explains what you now know about $\lim_{x \to 2} \frac{16-x^4}{x^2-4}$ .

정답·풀이 보기

(a) $f$ 는 $x^2 - 4 = 0$ 이 되게 하는 $x$ 의 값을 제외한 모든 $x$ 에 대해 정의된다. 따라서 $f$ 의 정의역은 $x = \pm 2$ 를 제외한 모든 실수의 집합이다. (b) 스프레드시트를 이용하여 다음 표를 만든다.

$x$	$f(x)$
$2.1$	$-8.41$
$2.01$	$-8.0401$
$2.001$	$-8.004001$
$1.999$	$-7.996001$
$1.99$	$-7.9601$
$1.9$	$-7.61$
수치의 경향으로 볼 때 $\lim_{x \to 2} f(x) = -8$ 임을 알 수 있다.
(c) $f(x)$ 의 분자와 분모를 인수분해하면 다음을 알 수 있다.
$\frac{16-x^4}{x^2-4} = \frac{(4-x^2)(4+x^2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{(2-x)(2+x)(4+x^2)}{(x-2)(x+2)}\,.$ $x \to 2$ 일 때의 극한을 구할 때에는 2에 점점 가까워지지만 2와 같지는 않은 값을 택하므로
$\lim_{x \to 2} \frac{16-x^4}{x^2-4} = \lim_{x \to 2} \frac{(2-x)(2+x)(4+x^2)}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x \to 2} -1(4+x^2)\,,$ 이다. 이는 $x \ne 2$ 인 모든 $x$ 에 대해 $\frac{2-x}{x-2} = -1$ 이기 때문이다. 마지막으로 $x \to 2$ 일 때 마지막 극한을 계산하면
$\lim_{x \to 2} \frac{16-x^4}{x^2-4} = -1(4+2^2) = -8\,.$ 이다.
(d) 거짓이다. (a)에서 $f(2)$ 는 정의되지 않음을 보았다. 이제 $x$ 가 $2$ 에 가까워질 때 $f$ 의 극한이 $-8$ 임을 알지만, 여전히 $f(2)$ 는 정의되지 않는다.
(e) 거짓이다. 이 등식은 $2$ 또는 $-2$ 가 아닌 $x$ 값에 대해서만 성립한다. 극한을 구할 때에는 $x$ 가 실제로 $2$ 와 같아지지 않고 $2$ 에 가까워지기만 하므로 이 등식을 사용할 수 있다.
(f) $f(2)$ 는 정의되지 않지만 $x \to 2$ 일 때 $f$ 의 극한이 $-8$ 이므로, 다음 그림과 같이 그래프는 점 $(2,-8)$ 에 “구멍”이 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $f$ is defined for every value of $x$ except those that make $x^2 - 4 = 0$ . Hence, the domain of $f$ is the set of all real numbers except $x = \pm 2$ . (b) Using a spreadsheet, we generate the following table.

$x$	$f(x)$
$2.1$	$-8.41$
$2.01$	$-8.0401$
$2.001$	$-8.004001$
$1.999$	$-7.996001$
$1.99$	$-7.9601$
$1.9$	$-7.61$
The numerical trend suggests that $\lim_{x \to 2} f(x) = -8$ .
(c) By factoring the numerator and denominator of $f(x)$ , we observe that
$\frac{16-x^4}{x^2-4} = \frac{(4-x^2)(4+x^2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{(2-x)(2+x)(4+x^2)}{(x-2)(x+2)}\,.$ Taking the limit as $x \to 2$ , we take values closer and closer, but not equal to 2, and therefore
$\lim_{x \to 2} \frac{16-x^4}{x^2-4} = \lim_{x \to 2} \frac{(2-x)(2+x)(4+x^2)}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x \to 2} -1(4+x^2)\,,$ since $\frac{2-x}{x-2} = -1$ for all $x \ne 2$ . Finally, evaluating the last limit as $x \to 2$ , we see that
$\lim_{x \to 2} \frac{16-x^4}{x^2-4} = -1(4+2^2) = -8\,.$
(d) False. In part (a), we saw that $f(2)$ is not defined. We now know that $f$ has a limit of $-8$ as $x$ approaches $2$ , but it is still the case that $f(2)$ is undefined.
(e) False. The noted equality only holds for $x$ -values other than $2$ or $-2$ . We can use this equality when evaluating the limit, since in so doing we never let $x$ actually equal $2$ , but only approach $2$ .
(f) Since $f(2)$ is not defined but $f$ has a limit of $-8$ as $x \to 2$ , we see that the graph has a “hole” in it at the point $(2,-8)$ , as seen in the following figure.
$A plot of the function f(x) = frac 16-x 4 x 2-4 on the interval 1 lt x lt 3. The graph looks like a parabola that is decreasing from the point (1,-5) to (3,-13), except there's a small open circle at$

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 1.2절 · 9번우리말 번역

$g(x) = -\frac{|x+3|}{x+3}$ 라 하자.

(a) $g$ 의 정의역은 무엇입니까? (b) $a = -3$ 근처의 값들로 이루어진 수열을 이용하여 $\lim_{x \to -3} g(x)$ 의 값을 어림하세요. 극한이 존재한다고 생각하면 그 값을 어림하고, 존재하지 않는다고 생각하면 그 이유를 설명하세요. (c) 대수적 방법을 이용하여 식 $\frac{|x+3|}{x+3}$ 을 간단히 하고, 이를 바탕으로 $\lim_{x \to -3} g(x)$ 가 존재하면 그 값을 정확히 구하고, 존재하지 않으면 풀이가 어떻게 극한이 존재하지 않음을 보여 주는지 설명하세요. 이 결과가 (b)의 결과와 어떻게 비교되는지 논하세요. (힌트: $a \ge 0$ 일 때마다 $|a| = a$ 이지만, $a < 0$ 일 때마다 $|a| = -a$ 입니다.) (d) 참 또는 거짓: $g(-3) = -1$ . 그 이유는 무엇입니까? (e) 참 또는 거짓: $-\frac{|x+3|}{x+3} = -1$ . 그 이유는 무엇입니까? 이 등식은 함수 $g$ 에 대한 위의 풀이와 어떻게 연결됩니까? (f) 위의 모든 풀이를 바탕으로, 구간 $[-4,-2]$ 에서 $y = g(x)$ 의 정확하고 이름표가 붙은 그래프를 그리고, $\lim_{x \to -3} g(x)$ 에 대해 이제 알게 된 것을 설명하는 문장을 한 문장 쓰세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $g$ 의 정의역은 $x = -3$ 을 제외한 모든 실수이다. (b) 스프레드시트를 이용하여 다음 표를 만든다.

$x$	$g(x)$
$-2.9$	$-1$
$-2.99$	$-1$
$-2.999$	$-1$
$-3.001$	$1$
$-3.01$	$-1$
$-3.1$	$-1$
$-3$ 에 오른쪽에서 가까이 가면 함숫값은 $1$ 에 가까워지지만(계속 $1$ 로 일정하지만), $-3$ 에 왼쪽에서 가까이 가면 함숫값은 $-1$ 에 가까워진다(계속 $-1$ 로 일정하다). 따라서 함숫값이 하나의 값에 한없이 가까워지지 않으므로 극한은 존재하지 않는다.
(c) $x \ge -3$ 일 때마다 $\|x+3\| = (x+3)$ 이고, $x < -3$ 일 때마다 $\|x+3\| = -(x+3)$ 임을 알 수 있다. 그러므로 $x > -3$ 이면
$-\frac{\|x+3\|}{x+3} = -\frac{x+3}{x+3} = -1$
이고, $x < -3$ 이면
$-\frac{\|x+3\|}{x+3} = -\frac{-(x+3)}{x+3} = +1\,.$ 함숫값이 $-3$ 의 오른쪽에서는 $-1$ 이고 $-3$ 의 왼쪽에서는 $+1$ 이므로 극한은 존재하지 않는다.
(d) 거짓이다. $-3$ 은 $g$ 의 정의역에 속하지 않으므로 $g(-3)$ 은 정의되지 않는다.
(e) 거짓이다. 이 등식은 (c)의 풀이에서 보았듯이 $x > -3$ 일 때만 성립한다.
(f) $x$ 가 서로 다른 방향에서 $-3$ 에 가까워질 때 $g$ 가 서로 다른 출력값에 가까워지므로, 다음 그림에서 보듯이 $x \to -3$ 일 때 $g$ 의 극한은 존재하지 않는다.
![구간 -4 < x < -2 에서 x = -3 근처의 g(x) = -	x+3

이 문제로 이어서 풀기

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