함수의 극한의 뜻 연습문제

1.OpenStax 1권 · 2.1절 · 13번우리말 풀이

[계산기 사용] 다음 표를 알맞은 값으로 채우세요. $y$ 좌표, 점 $Q(x,y)$ , 그리고 두 점 $P$ , $Q$ 를 지나는 할선의 기울기 $m_{\text{sec}}$ 를 구합니다. 답은 유효숫자 8자리로 반올림하세요.

x	y	$Q(x,y)$	m_sec
−1.05	a.	e.	i.
−1.01	b.	f.	j.
−1.005	c.	g.	k.
−1.001	d.	h.	l.

영어 원문 보기

[T] Complete the following table with the appropriate values: y-coordinate of Q, the point $Q(x,y),$ and the slope of the secant line passing through points P and Q. Round your answer to eight significant digits.

x	y	$Q(x,y)$	m_sec
−1.05	a.	e.	i.
−1.01	b.	f.	j.
−1.005	c.	g.	k.
−1.001	d.	h.	l.

풀이 보기

점 Q 를 점 P 에 가까이 보낼수록 할선의 기울기가 어떤 값에 다가가는지 표로 살펴보는 문제예요.

1
어떤 함수와 점인지 먼저 확인해요. 이 문제에는 함수와 점 $P$ 가 나와 있지 않지만, 원본 정답의 값( $-0.95238095$ 등)을 보면 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ 이고 $P(-1,-1)$ 임을 알 수 있어요. (앞 문제에서 주어진 조건으로 보여요.)
2
$y$ 좌표(a~d)를 구해요. 점 $Q$ 는 곡선 위의 점이니까 $y=\dfrac{1}{x}$ 에 $x$ 값을 넣으면 돼요.
- $x=-1.05$ 일 때 $y=\dfrac{1}{-1.05}\approx -0.95238095$
- $x=-1.01$ 일 때 $y\approx -0.99009901$
- $x=-1.005$ 일 때 $y\approx -0.99502488$
- $x=-1.001$ 일 때 $y\approx -0.99900100$
3
점 $Q(x,y)$ (e~h)를 적어요. 위에서 구한 $x$ 와 $y$ 를 짝지으면 돼요.
- $Q(-1.05,\,-0.95238095)$
- $Q(-1.01,\,-0.99009901)$
- $Q(-1.005,\,-0.99502488)$
- $Q(-1.001,\,-0.99900100)$
4
할선의 기울기(i~l)를 구해요. 두 점 $P(-1,-1)$ , $Q(x,y)$ 를 지나는 직선의 기울기는 $m_{\text{sec}}=\dfrac{y-(-1)}{x-(-1)}=\dfrac{y+1}{x+1}$ 이에요.

$x=-1.05$ 이면 $\dfrac{-0.95238095+1}{-1.05+1}=\dfrac{0.04761905}{-0.05}\approx -0.95238095$ 예요.

사실 $y=\dfrac1x$ 를 넣어 정리하면 $m_{\text{sec}}=\dfrac{\frac1x+1}{x+1}=\dfrac{\frac{1+x}{x}}{x+1}=\dfrac1x$ 라서 기울기는 $y$ 값과 똑같아요.
5
표에서 알 수 있는 것을 정리해요. $x$ 가 $-1$ 에 가까워질수록 $m_{\text{sec}}$ 는 $-1$ 에 가까워져요. 이 값이 점 $P$ 에서의 접선의 기울기를 짐작하게 해 줘요.

답

(a) $-0.95238095$ (b) $-0.99009901$ (c) $-0.99502488$ (d) $-0.99900100$ / (e)~(h) $Q$ 는 각각 $(-1.05,-0.95238095)$ , $(-1.01,-0.99009901)$ , $(-1.005,-0.99502488)$ , $(-1.001,-0.99900100)$ / (i)~(l) 기울기는 (a)~(d) 와 같은 값

자주 하는 실수

할선의 기울기를 구할 때 $x$ 값 대신 $x+1$ 이어야 하는 분모에 $x$ 를 그대로 넣거나, 부호를 빠뜨려요.

원본 교재 풀이(영어)

a. −0.95238095; b. −0.99009901; c. −0.99502488; d. −0.99900100; e. (−1;.0500000,−0;.95238095); f. (−1;.0100000,−0;.9909901); g. (−1;.0050000,−0;.99502488); h. (1.0010000,−0;.99900100); i. −0.95238095; j. −0.99009901; k. −0.99502488; l. −0.99900100

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 2번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석보통

2.OpenStax 1권 · 2.2절 · 16번우리말 풀이

[계산기 사용] 다음 문제에서는 값의 표를 만들고 유효숫자 8자리로 반올림하세요. 표를 보고 극한값이 얼마일지 짐작해 보세요. 그다음 계산기로 함수의 그래프를 그려 극한을 확인하세요. 짐작이 맞았나요? 맞지 않았다면 표를 이용한 방법은 왜 실패했을까요?

$\lim_{\alpha \to 0^{+}}\dfrac{1}{\alpha }\cos \left(\dfrac{\pi }{\alpha }\right)$

$\alpha$	$\dfrac{1}{\alpha }\cos \left(\dfrac{\pi }{\alpha }\right)$
0.1	a.
0.01	b.
0.001	c.
0.0001	d.

영어 원문 보기

[T] In the following exercises, set up a table of values and round to eight significant digits. Based on the table of values, make a guess about what the limit is. Then, use a calculator to graph the function and determine the limit. Was the conjecture correct? If not, why does the method of tables fail?

$\lim_{\alpha \to {0}^{+}}\frac{1}{\alpha }\cos \left(\frac{\pi }{\alpha }\right)$

$\alpha$	$\frac{1}{\alpha }\cos \left(\frac{\pi }{\alpha }\right)$
0.1	a.
0.01	b.
0.001	c.
0.0001	d.

풀이 보기

표에 쓴 몇 개의 값만으로는 극한을 단정할 수 없어요. 그래프나 식 전체의 움직임까지 봐야 해요.

1
표를 채워요. 코사인 안의 값 $\dfrac{\pi}{\alpha}$ 를 먼저 구해요.
- $\alpha=0.1$ 이면 $\dfrac{\pi}{0.1}=10\pi$ 이고 $\cos 10\pi=1$ 이므로 값은 $\dfrac{1}{0.1}\cdot 1=10$
- $\alpha=0.01$ 이면 $\cos 100\pi=1$ 이므로 값은 $100$
- $\alpha=0.001$ 이면 값은 $1000$
- $\alpha=0.0001$ 이면 값은 $10000$
2
표를 보고 짐작해요. 값이 $10,100,1000,10000$ 으로 한없이 커지니까 $\alpha\to0^{+}$ 일 때 극한이 $\infty$ 라고 짐작할 수 있어요.
3
그래프를 확인해요. 그래프를 그려 보면 $0$ 에 가까워질수록 위아래로 아주 빠르게 흔들리면서 흔들림의 폭이 점점 커져요. 코사인 값이 $-1$ 과 $1$ 사이를 계속 오가는데 앞에 곱한 $\dfrac1\alpha$ 가 커지기 때문이에요. 그래서 $\infty$ 로만 가지 않고 $-\infty$ 쪽으로도 가요.
4
정말 극한이 있는지 따져 봐요. 같은 $\alpha\to0^{+}$ 인데 점을 다르게 고르면 결과가 달라져요.
- $\alpha=\dfrac1{2n}$ 이면 $\dfrac{\pi}{\alpha}=2n\pi$ 이므로 값은 $2n\cdot 1=2n\to\infty$
- $\alpha=\dfrac1{2n+1}$ 이면 $\dfrac{\pi}{\alpha}=(2n+1)\pi$ 이므로 값은 $-(2n+1)\to-\infty$
한 값에 다가가지 않으므로 극한은 존재하지 않아요.
5
표가 실패한 이유예요. 표에 고른 $\alpha=0.1,0.01,0.001,0.0001$ 은 모두 $\dfrac{1}{(\text{짝수})}$ 꼴이라 코사인이 항상 $1$ 이 되는 점만 골랐어요. 그래서 진동하는 모습을 보지 못하고 $\infty$ 라고 잘못 짐작한 거예요.

답

(a) $10$ (b) $100$ (c) $1000$ (d) $10000$ . 표로 짐작한 극한은 $\infty$ 이지만 실제로는 극한이 존재하지 않아요.

자주 하는 실수

표의 값이 계속 커진다는 것만 보고 극한이 $\infty$ 라고 확신해요.

원본 교재 풀이(영어)

a. 10.00000; b. 100.00000; c. 1000.0000; d. 10,000.000; Guess: $\lim_{\alpha \to {0}^{+}}\frac{1}{\alpha }\cos \left(\frac{\pi }{\alpha }\right)=\infty ,$ actual: DNE

A graph of the function (1/alpha) * cos (pi / alpha), which oscillates gently until the interval (-.2, .2), where it oscillates rapidly, going to infinity and negative infinity as it approaches the y axis.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.1절 · 13번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석보통

3.OpenStax 1권 · 2.1절 · 1번우리말 번역

[계산기 사용] 다음 표를 알맞은 값으로 완성하세요: Q의 y좌표, 점 $Q(x,y)$ , 그리고 두 점 P와 Q를 지나는 할선의 기울기. 답은 유효숫자 여덟 자리로 반올림하여 나타내세요.

x	y	$Q(x,y)$	m_sec
1.1	a.	e.	i.
1.01	b.	f.	j.
1.001	c.	g.	k.
1.0001	d.	h.	l.

영어 원문 보기

[T] Complete the following table with the appropriate values: y-coordinate of Q, the point $Q(x,y),$ and the slope of the secant line passing through points P and Q. Round your answer to eight significant digits.

x	y	$Q(x,y)$	m_sec
1.1	a.	e.	i.
1.01	b.	f.	j.
1.001	c.	g.	k.
1.0001	d.	h.	l.

정답·풀이 보기

a. 2.2100000; b. 2.0201000; c. 2.0020010; d. 2.0002000; e. (1.1000000, 2.2100000); f. (1.0100000, 2.0201000); g. (1.0010000, 2.0020010); h. (1.0001000, 2.0002000); i. 2.1000000; j. 2.0100000; k. 2.0010000; l. 2.0001000

원본 교재 풀이(영어)

a. 2.2100000; b. 2.0201000; c. 2.0020010; d. 2.0002000; e. (1.1000000, 2.2100000); f. (1.0100000, 2.0201000); g. (1.0010000, 2.0020010); h. (1.0001000, 2.0002000); i. 2.1000000; j. 2.0100000; k. 2.0010000; l. 2.0001000

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.1절 · 7번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석자동 분류

4.OpenStax 1권 · 2.1절 · 2번우리말 번역

앞의 연습문제 표의 오른쪽 열의 값을 이용하여 $x=1$ 에서 f에 접하는 접선의 기울기의 값을 추측하세요.

영어 원문 보기

Use the values in the right column of the table in the preceding exercise to guess the value of the slope of the line tangent to f at $x=1.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 52번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석자동 분류

5.OpenStax 1권 · 2.1절 · 3번우리말 번역

앞의 연습문제의 값을 이용하여 점 P에서의 접선의 방정식을 구하세요. $f(x)$ 와 접선의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Use the value in the preceding exercise to find an equation of the tangent line at point P. Graph $f(x)$ and the tangent line.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y=2x$

원본 교재 풀이(영어)

$y=2x$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 3번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석자동 분류

6.OpenStax 1권 · 2.1절 · 4번우리말 번역

[계산기 사용] 다음 표를 알맞은 값으로 완성하세요: Q의 y좌표, 점 $Q(x,y)$ , 그리고 두 점 P와 Q를 지나는 할선의 기울기. 답은 유효숫자 여덟 자리로 반올림하여 나타내세요.

x	y	$Q(x,y)$	m_sec
1.1	a.	e.	i.
1.01	b.	f.	j.
1.001	c.	g.	k.
1.0001	d.	h.	l.

영어 원문 보기

[T] Complete the following table with the appropriate values: y-coordinate of Q, the point $Q(x,y),$ and the slope of the secant line passing through points P and Q. Round your answer to eight significant digits.

x	y	$Q(x,y)$	m_sec
1.1	a.	e.	i.
1.01	b.	f.	j.
1.001	c.	g.	k.
1.0001	d.	h.	l.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.1절 · 2번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석자동 분류

7.OpenStax 1권 · 2.1절 · 5번우리말 번역

앞의 연습문제 표의 오른쪽 열에 있는 값을 이용하여 $x=1$ 에서 f 의 접선의 기울기 값을 추측하세요.

영어 원문 보기

Use the values in the right column of the table in the preceding exercise to guess the value of the slope of the tangent line to f at $x=1.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

3

원본 교재 풀이(영어)

3

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 17번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석자동 분류

8.OpenStax 1권 · 2.1절 · 6번우리말 번역

앞의 연습문제의 값을 이용하여 점 P 에서의 접선의 방정식을 구하세요. $f(x)$ 와 접선의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Use the value in the preceding exercise to find an equation of the tangent line at point P. Graph $f(x)$ and the tangent line.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 1번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석자동 분류

9.OpenStax 1권 · 2.1절 · 7번우리말 번역

[계산기 사용] 다음 표를 알맞은 값으로 완성하세요: Q 의 y 좌표, 점 $Q(x,y)$ , 그리고 두 점 P 와 Q 를 지나는 할선의 기울기. 답은 유효숫자 8자리까지 반올림하여 나타내세요.

x	y	$Q(x,y)$	m_sec
4.1	a.	e.	i.
4.01	b.	f.	j.
4.001	c.	g.	k.
4.0001	d.	h.	l.

영어 원문 보기

[T] Complete the following table with the appropriate values: y-coordinate of Q, the point $Q(x,y),$ and the slope of the secant line passing through points P and Q. Round your answer to eight significant digits.

x	y	$Q(x,y)$	m_sec
4.1	a.	e.	i.
4.01	b.	f.	j.
4.001	c.	g.	k.
4.0001	d.	h.	l.

정답·풀이 보기

a. 2.0248457; b. 2.0024984; c. 2.0002500; d. 2.0000250; e. (4.1000000,2.0248457); f. (4.0100000,2.0024984); g. (4.0010000,2.0002500); h. (4.00010000,2.0000250); i. 0.24845673; j. 0.24984395; k. 0.24998438; l. 0.24999844

원본 교재 풀이(영어)

a. 2.0248457; b. 2.0024984; c. 2.0002500; d. 2.0000250; e. (4.1000000,2.0248457); f. (4.0100000,2.0024984); g. (4.0010000,2.0002500); h. (4.00010000,2.0000250); i. 0.24845673; j. 0.24984395; k. 0.24998438; l. 0.24999844

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 6번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석자동 분류

10.OpenStax 1권 · 2.1절 · 8번우리말 번역

앞의 연습문제 표의 오른쪽 열에 있는 값을 이용하여 $x=4$ 에서 f 의 접선의 기울기 값을 추측하세요.

영어 원문 보기

Use the values in the right column of the table in the preceding exercise to guess the value of the slope of the tangent line to f at $x=4.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 50번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석자동 분류

11.OpenStax 1권 · 2.1절 · 9번우리말 번역

앞의 연습문제에서 구한 값을 이용하여 점 P에서의 접선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Use the value in the preceding exercise to find an equation of the tangent line at point P.

정답·풀이 보기

$y=\frac{x}{4}+1$

원본 교재 풀이(영어)

$y=\frac{x}{4}+1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.1절 · 13번

# 함수의 극한의 뜻계산자동 분류

12.OpenStax 1권 · 2.1절 · 10번우리말 번역

[계산기 사용] 다음 표를 알맞은 값으로 완성하세요: 점 Q의 y좌표, 점 $Q(\varphi ,y)$ , 그리고 두 점 P와 Q를 지나는 할선의 기울기. 답은 유효숫자 8자리까지 반올림하여 나타내세요.

φ	y	$Q(\varphi ,y)$	m_sec
1.4	a.	e.	i.
1.49	b.	f.	j.
1.499	c.	g.	k.
1.4999	d.	h.	l.

영어 원문 보기

[T] Complete the following table with the appropriate values: y-coordinate of Q, the point $Q(\varphi ,y),$ and the slope of the secant line passing through points P and Q. Round your answer to eight significant digits.

φ	y	$Q(\varphi ,y)$	m_sec
1.4	a.	e.	i.
1.49	b.	f.	j.
1.499	c.	g.	k.
1.4999	d.	h.	l.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.1절 · 1번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석자동 분류

13.OpenStax 1권 · 2.1절 · 11번우리말 번역

앞 문제의 표에서 오른쪽 열의 값을 이용하여 $\varphi =1.5$ 에서 f의 접선의 기울기 값을 추측하세요.

영어 원문 보기

Use the values in the right column of the table in the preceding exercise to guess the value of the slope of the tangent line to f at $\varphi =1.5.$

정답·풀이 보기

π

원본 교재 풀이(영어)

π

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.2절 · 2번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석자동 분류

14.OpenStax 1권 · 2.1절 · 12번우리말 번역

앞 문제의 값을 이용하여 점 P에서의 접선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Use the value in the preceding exercise to find an equation of the tangent line at point P.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.2절 · 1번

# 함수의 극한의 뜻계산자동 분류

15.OpenStax 1권 · 2.1절 · 14번우리말 번역

앞 문제의 표에서 오른쪽 열의 값을 이용하여 $x=-1$ 에서 f에 접하는 직선의 기울기 값을 추측하세요.

영어 원문 보기

Use the values in the right column of the table in the preceding exercise to guess the value of the slope of the line tangent to f at $x=-1.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 18번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석자동 분류

16.OpenStax 1권 · 2.1절 · 15번우리말 번역

앞의 연습문제에서 구한 값을 이용하여 점 P에서의 접선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Use the value in the preceding exercise to find an equation of the tangent line at point P.

정답·풀이 보기

$y=-x-2$

원본 교재 풀이(영어)

$y=-x-2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.1절 · 7번

# 함수의 극한의 뜻계산자동 분류

17.OpenStax 1권 · 2.1절 · 16번우리말 번역

[계산기 사용] 주어진 시간 구간에서 공의 평균 속도를 구하세요.

a. $[4.99,5]$ b. $[5,5.01]$ c. $[4.999,5]$ d. $[5,5.001]$

영어 원문 보기

[T] Compute the average velocity of the ball over the given time intervals.

a. $[4.99,5]$ b. $[5,5.01]$ c. $[4.999,5]$ d. $[5,5.001]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 6번

# 함수의 극한의 뜻활용자동 분류

18.OpenStax 1권 · 2.1절 · 17번우리말 번역

앞의 연습문제를 이용하여 $t=5$ sec 에서 공의 순간 속도를 추측하세요.

영어 원문 보기

Use the preceding exercise to guess the instantaneous velocity of the ball at $t=5$ sec.

정답·풀이 보기

−49 m/sec (공의 속도는 아래 방향으로 49 m/sec이다)

원본 교재 풀이(영어)

−49 m/sec (velocity of the ball is 49 m/sec downward)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 20번

# 함수의 극한의 뜻활용자동 분류

19.OpenStax 1권 · 2.1절 · 18번우리말 번역

[계산기 사용] 주어진 시간 구간에서 돌의 평균 속도를 구하세요.

a. $[1,1.05]$ b. $[1,1.01]$ c. $[1,1.005]$ d. $[1,1.001]$

영어 원문 보기

[T] Compute the average velocity of the stone over the given time intervals.

a. $[1,1.05]$ b. $[1,1.01]$ c. $[1,1.005]$ d. $[1,1.001]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 22번

# 함수의 극한의 뜻활용자동 분류

20.OpenStax 1권 · 2.1절 · 19번우리말 번역

앞의 연습문제를 이용하여 $t=1$ sec 에서 돌의 순간 속도를 추측하세요.

영어 원문 보기

Use the preceding exercise to guess the instantaneous velocity of the stone at $t=1$ sec.

정답·풀이 보기

5.2 m/sec

원본 교재 풀이(영어)

5.2 m/sec

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.1절 · 2번

# 함수의 극한의 뜻활용자동 분류