함수의 극한의 뜻 연습문제 — Active Calculus · 1.2절 · 9번

Active Calculus · 1.2절 · 9번우리말 번역

$g(x) = -\frac{|x+3|}{x+3}$ 라 하자.

(a) $g$ 의 정의역은 무엇입니까? (b) $a = -3$ 근처의 값들로 이루어진 수열을 이용하여 $\lim_{x \to -3} g(x)$ 의 값을 어림하세요. 극한이 존재한다고 생각하면 그 값을 어림하고, 존재하지 않는다고 생각하면 그 이유를 설명하세요. (c) 대수적 방법을 이용하여 식 $\frac{|x+3|}{x+3}$ 을 간단히 하고, 이를 바탕으로 $\lim_{x \to -3} g(x)$ 가 존재하면 그 값을 정확히 구하고, 존재하지 않으면 풀이가 어떻게 극한이 존재하지 않음을 보여 주는지 설명하세요. 이 결과가 (b)의 결과와 어떻게 비교되는지 논하세요. (힌트: $a \ge 0$ 일 때마다 $|a| = a$ 이지만, $a < 0$ 일 때마다 $|a| = -a$ 입니다.) (d) 참 또는 거짓: $g(-3) = -1$ . 그 이유는 무엇입니까? (e) 참 또는 거짓: $-\frac{|x+3|}{x+3} = -1$ . 그 이유는 무엇입니까? 이 등식은 함수 $g$ 에 대한 위의 풀이와 어떻게 연결됩니까? (f) 위의 모든 풀이를 바탕으로, 구간 $[-4,-2]$ 에서 $y = g(x)$ 의 정확하고 이름표가 붙은 그래프를 그리고, $\lim_{x \to -3} g(x)$ 에 대해 이제 알게 된 것을 설명하는 문장을 한 문장 쓰세요.

영어 원문 보기

Let $g(x) = -\frac{|x+3|}{x+3}$ .

(a) What is the domain of $g$ ? (b) Use a sequence of values near $a = -3$ to estimate the value of $\lim_{x \to -3} g(x)$ , if you think the limit exists. If you think the limit doesn't exist, explain why. (c) Use algebra to simplify the expression $\frac{|x+3|}{x+3}$ and hence work to evaluate $\lim_{x \to -3} g(x)$ exactly, if it exists, or to explain how your work shows the limit fails to exist. Discuss how your findings compare to your results in (b). (Hint: $|a| = a$ whenever $a \ge 0$ , but $|a| = -a$ whenever $a < 0$ .) (d) True or false: $g(-3) = -1$ . Why? (e) True or false: $-\frac{|x+3|}{x+3} = -1$ . Why? How is this equality connected to your work above with the function $g$ ? (f) Based on all of your work above, construct an accurate, labeled graph of $y = g(x)$ on the interval $[-4,-2]$ , and write a sentence that explains what you now know about $\lim_{x \to -3} g(x)$ .

정답·풀이 보기

(a) $g$ 의 정의역은 $x = -3$ 을 제외한 모든 실수이다. (b) 스프레드시트를 이용하여 다음 표를 만든다.

$x$	$g(x)$
$-2.9$	$-1$
$-2.99$	$-1$
$-2.999$	$-1$
$-3.001$	$1$
$-3.01$	$-1$
$-3.1$	$-1$
$-3$ 에 오른쪽에서 가까이 가면 함숫값은 $1$ 에 가까워지지만(계속 $1$ 로 일정하지만), $-3$ 에 왼쪽에서 가까이 가면 함숫값은 $-1$ 에 가까워진다(계속 $-1$ 로 일정하다). 따라서 함숫값이 하나의 값에 한없이 가까워지지 않으므로 극한은 존재하지 않는다.
(c) $x \ge -3$ 일 때마다 $\|x+3\| = (x+3)$ 이고, $x < -3$ 일 때마다 $\|x+3\| = -(x+3)$ 임을 알 수 있다. 그러므로 $x > -3$ 이면
$-\frac{\|x+3\|}{x+3} = -\frac{x+3}{x+3} = -1$
이고, $x < -3$ 이면
$-\frac{\|x+3\|}{x+3} = -\frac{-(x+3)}{x+3} = +1\,.$ 함숫값이 $-3$ 의 오른쪽에서는 $-1$ 이고 $-3$ 의 왼쪽에서는 $+1$ 이므로 극한은 존재하지 않는다.
(d) 거짓이다. $-3$ 은 $g$ 의 정의역에 속하지 않으므로 $g(-3)$ 은 정의되지 않는다.
(e) 거짓이다. 이 등식은 (c)의 풀이에서 보았듯이 $x > -3$ 일 때만 성립한다.
(f) $x$ 가 서로 다른 방향에서 $-3$ 에 가까워질 때 $g$ 가 서로 다른 출력값에 가까워지므로, 다음 그림에서 보듯이 $x \to -3$ 일 때 $g$ 의 극한은 존재하지 않는다.
![구간 -4 < x < -2 에서 x = -3 근처의 g(x) = -	x+3

원본 교재 풀이(영어)

(a) The domain of $g$ is all real numbers except $x = -3$ . (b) Using a spreadsheet, we generate the following table.

$x$	$g(x)$
$-2.9$	$-1$
$-2.99$	$-1$
$-2.999$	$-1$
$-3.001$	$1$
$-3.01$	$-1$
$-3.1$	$-1$
As we approach $-3$ from the right, the function values approach (stay constant at) $1$ ; but as we approach $-3$ from the left, the function values approach (stay constant at) $-1$ . As such, the function values do not get arbitrarily close to a single value, and hence the limit does not exist.
(c) We observe that $\|x+3\| = (x+3)$ whenever $x \ge -3$ , and that $\|x+3\| = -(x+3)$ whenever $x < -3$ . So, if $x > -3$ , we see that
$-\frac{\|x+3\|}{x+3} = -\frac{x+3}{x+3} = -1$
whereas if $x < -3$ , it follows that
$-\frac{\|x+3\|}{x+3} = -\frac{-(x+3)}{x+3} = +1\,.$ Because the function value is $-1$ to the right of $-3$ and $+1$ to the left of $-3$ , it follows that the limit does not exist.
(d) False, since $-3$ does not belong to the domain of $g$ , $g(-3)$ is undefined.
(e) False. This equality is only true when $x > -3$ , as seen in our work in (c).
(f) Since $g$ approaches different output values as $x$ approaches $-3$ from different directions, $g$ does not have a limit as $x \to -3$ , as seen in the following figure.
![A plot of g(x) = - frac	x+3

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 2.2절 · 16번

[계산기 사용] 다음 문제에서는 값의 표를 만들고 유효숫자 8자리로 반올림하세요. 표를 보고 극한값이 얼마일지 짐작해 보세요. 그다음 계산기로 함수의 그래프를 그려 극한을 확인하세요. 짐작이 맞았나요? 맞지 않았다면 표를 이용한 방법은 왜 실패했을까요?

$\lim_{\alpha \to 0^{+}}\dfrac{1}{\alpha }\cos \left(\dfrac{\pi }{\alpha }\right)$

$\alpha$	$\dfrac{1}{\alpha }\cos \left(\dfrac{\pi }{\alpha }\right)$
0.1	a.
0.01	b.
0.001	c.
0.0001	d.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $10$ (b) $100$ (c) $1000$ (d) $10000$ . 표로 짐작한 극한은 $\infty$ 이지만 실제로는 극한이 존재하지 않아요.

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

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