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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속

함수의 극한의 뜻

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 1권 · 2.2절 · 16번우리말 풀이

[계산기 사용] 다음 문제에서는 값의 표를 만들고 유효숫자 8자리로 반올림하세요. 표를 보고 극한값이 얼마일지 짐작해 보세요. 그다음 계산기로 함수의 그래프를 그려 극한을 확인하세요. 짐작이 맞았나요? 맞지 않았다면 표를 이용한 방법은 왜 실패했을까요?

lim⁡α→0+1αcos⁡(πα)\lim_{\alpha \to 0^{+}}\dfrac{1}{\alpha }\cos \left(\dfrac{\pi }{\alpha }\right)

α\alpha 1αcos⁡(πα)\dfrac{1}{\alpha }\cos \left(\dfrac{\pi }{\alpha }\right)
0.1 a.
0.01 b.
0.001 c.
0.0001 d.
영어 원문 보기

[T] In the following exercises, set up a table of values and round to eight significant digits. Based on the table of values, make a guess about what the limit is. Then, use a calculator to graph the function and determine the limit. Was the conjecture correct? If not, why does the method of tables fail?

lim⁡α→0+1αcos⁡(πα)\lim_{\alpha \to {0}^{+}}\frac{1}{\alpha }\cos \left(\frac{\pi }{\alpha }\right)

α\alpha 1αcos⁡(πα)\frac{1}{\alpha }\cos \left(\frac{\pi }{\alpha }\right)
0.1 a.
0.01 b.
0.001 c.
0.0001 d.
풀이 보기

표에 쓴 몇 개의 값만으로는 극한을 단정할 수 없어요. 그래프나 식 전체의 움직임까지 봐야 해요.

  1. 1

    표를 채워요. 코사인 안의 값 πα\dfrac{\pi}{\alpha} 를 먼저 구해요.

    • α=0.1\alpha=0.1 이면 π0.1=10π\dfrac{\pi}{0.1}=10\pi 이고 cos⁡10π=1\cos 10\pi=1 이므로 값은 10.1⋅1=10\dfrac{1}{0.1}\cdot 1=10
    • α=0.01\alpha=0.01 이면 cos⁡100π=1\cos 100\pi=1 이므로 값은 100100
    • α=0.001\alpha=0.001 이면 값은 10001000
    • α=0.0001\alpha=0.0001 이면 값은 1000010000
  2. 2

    표를 보고 짐작해요. 값이 10,100,1000,1000010,100,1000,10000 으로 한없이 커지니까 α→0+\alpha\to0^{+} 일 때 극한이 ∞\infty 라고 짐작할 수 있어요.

  3. 3

    그래프를 확인해요. 그래프를 그려 보면 00 에 가까워질수록 위아래로 아주 빠르게 흔들리면서 흔들림의 폭이 점점 커져요. 코사인 값이 −1-1 과 11 사이를 계속 오가는데 앞에 곱한 1α\dfrac1\alpha 가 커지기 때문이에요. 그래서 ∞\infty 로만 가지 않고 −∞-\infty 쪽으로도 가요.

  4. 4

    정말 극한이 있는지 따져 봐요. 같은 α→0+\alpha\to0^{+} 인데 점을 다르게 고르면 결과가 달라져요.

    • α=12n\alpha=\dfrac1{2n} 이면 πα=2nπ\dfrac{\pi}{\alpha}=2n\pi 이므로 값은 2n⋅1=2n→∞2n\cdot 1=2n\to\infty
    • α=12n+1\alpha=\dfrac1{2n+1} 이면 πα=(2n+1)π\dfrac{\pi}{\alpha}=(2n+1)\pi 이므로 값은 −(2n+1)→−∞-(2n+1)\to-\infty

    한 값에 다가가지 않으므로 극한은 존재하지 않아요.

  5. 5

    표가 실패한 이유예요. 표에 고른 α=0.1,0.01,0.001,0.0001\alpha=0.1,0.01,0.001,0.0001 은 모두 1(짝수)\dfrac{1}{(\text{짝수})} 꼴이라 코사인이 항상 11 이 되는 점만 골랐어요. 그래서 진동하는 모습을 보지 못하고 ∞\infty 라고 잘못 짐작한 거예요.

답

(a) 1010 (b) 100100 (c) 10001000 (d) 1000010000. 표로 짐작한 극한은 ∞\infty 이지만 실제로는 극한이 존재하지 않아요.

자주 하는 실수

표의 값이 계속 커진다는 것만 보고 극한이 ∞\infty 라고 확신해요.

원본 교재 풀이(영어)

a. 10.00000; b. 100.00000; c. 1000.0000; d. 10,000.000; Guess: lim⁡α→0+1αcos⁡(πα)=∞,\lim_{\alpha \to {0}^{+}}\frac{1}{\alpha }\cos \left(\frac{\pi }{\alpha }\right)=\infty , actual: DNE

A graph of the function (1/alpha) * cos (pi / alpha), which oscillates gently until the interval (-.2, .2), where it oscillates rapidly, going to infinity and negative infinity as it approaches the y axis.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 2.1절 · 13번

[계산기 사용] 다음 표를 알맞은 값으로 채우세요. yy좌표, 점 Q(x,y)Q(x,y), 그리고 두 점 PP, QQ를 지나는 할선의 기울기 msecm_{\text{sec}}를 구합니다. 답은 유효숫자 8자리로 반올림하세요.

x y Q(x,y)Q(x,y) msec
−1.05 a. e. i.
−1.01 b. f. j.
−1.005 c. g. k.
−1.001 d. h. l.
다 풀었으면 정답 확인

(a) −0.95238095-0.95238095 (b) −0.99009901-0.99009901 (c) −0.99502488-0.99502488 (d) −0.99900100-0.99900100 / (e)~(h) QQ 는 각각 (−1.05,−0.95238095)(-1.05,-0.95238095), (−1.01,−0.99009901)(-1.01,-0.99009901), (−1.005,−0.99502488)(-1.005,-0.99502488), (−1.001,−0.99900100)(-1.001,-0.99900100) / (i)~(l) 기울기는 (a)~(d) 와 같은 값

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