함수의 극한의 뜻 연습문제 — Active Calculus · 1.2절 · 11번

Active Calculus · 1.2절 · 11번우리말 번역

번지 점프를 하는 한 사람이 시각 $t=0$ 에 탑에서 뛰어내린다. 시각 $t$ 초에서 그녀의 높이 $s$ 피트는 $s(t) = 100\cos(0.75t) \cdot e^{-0.2t}+100$ 으로 주어진다.

(a) 구간 $[1,1+h]$ 에서 번지 점프를 하는 사람의 평균 속도를 나타내는 식을 쓰세요. (b) 계산 도구를 사용하여 (a)에서 구한 식의 $h \to 0$ 일 때의 극한값을 어림하세요. (c) (b)에서 구한 극한값이 무엇을 뜻하는지 설명하세요. 그 단위는 무엇인지 말하세요.

영어 원문 보기

A bungee jumper dives from a tower at time $t=0$ . Her height $s$ in feet at time $t$ in seconds is given by $s(t) = 100\cos(0.75t) \cdot e^{-0.2t}+100$ .

(a) Write an expression for the average velocity of the bungee jumper on the interval $[1,1+h]$ . (b) Use computing technology to estimate the value of the limit as $h \to 0$ of the quantity you found in (a). (c) What is the meaning of the value of the limit in (b)? What are its units?

정답·풀이 보기

(a) 평균 속도의 일반적인 공식을 이용하면 다음과 같다. $\begin{aligned}AV_{[1,1+h]} &= \frac{s(1+h)-s(1)}{h} \\ &= \frac{(100\cos(0.75(1+h)) \cdot e^{-0.2(1+h)}+100) - (100\cos(0.75) \cdot e^{-0.2}+100)}{h} \\ &= \frac{100\cos(0.75(1+h)) \cdot e^{-0.2(1+h)}+100 - 100\cos(0.75) \cdot e^{-0.2}-100)}{h} \\ &= \frac{100\cos(0.75(1+h)) \cdot e^{-0.2(1+h)} - 100\cos(0.75) \cdot e^{-0.2}}{h}\end{aligned}$ (b) 스프레드시트를 이용하여 식 $AV_{[1,1+h]}$ 에 작은 $h$ 의 값들을 대입하면 다음과 같다. $h=0$ 근처에서 $AV_{[1,1+h]}$ 의 값

$h$	$AV_{[1,1+h]}$
$0.1$	$-54.50145823$
$0.01$	$-53.90917396$
$0.001$	$-53.84429251$
$0.0001$	$-53.83774757$
$-0.1$	$-53.83629174$
$-0.01$	$-53.82973418$
$-0.001$	$-53.76359015$
$-0.0001$	$-53.04508149$
따라서
$\lim_{h \to 0} AV_{[1, 1+h]} \approx -53.837\,.$
(c) $\lim_{h \to 0} AV_{[1, 1+h]} \approx -53.837$ 이므로, 이는 $t = 1$ 인 순간 번지 점프를 하는 사람의 순간 속도가 약 $-53.837$ ft/sec 임을 뜻한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Using the standard formula for average velocity, we see that $\begin{aligned}AV_{[1,1+h]} &= \frac{s(1+h)-s(1)}{h} \\ &= \frac{(100\cos(0.75(1+h)) \cdot e^{-0.2(1+h)}+100) - (100\cos(0.75) \cdot e^{-0.2}+100)}{h} \\ &= \frac{100\cos(0.75(1+h)) \cdot e^{-0.2(1+h)}+100 - 100\cos(0.75) \cdot e^{-0.2}-100)}{h} \\ &= \frac{100\cos(0.75(1+h)) \cdot e^{-0.2(1+h)} - 100\cos(0.75) \cdot e^{-0.2}}{h}\end{aligned}$ (b) Using a spreadsheet and small values of $h$ in the expression $AV_{[1,1+h]}$ , we see that Values of $AV_{[1,1+h]}$ near $h=0$ .

$h$	$AV_{[1,1+h]}$
$0.1$	$-54.50145823$
$0.01$	$-53.90917396$
$0.001$	$-53.84429251$
$0.0001$	$-53.83774757$
$-0.1$	$-53.83629174$
$-0.01$	$-53.82973418$
$-0.001$	$-53.76359015$
$-0.0001$	$-53.04508149$
and hence
$\lim_{h \to 0} AV_{[1, 1+h]} \approx -53.837\,.$
(c) Since $\lim_{h \to 0} AV_{[1, 1+h]} \approx -53.837$ this tells us that the instantaneous velocity of the bungee jumper at the moment $t = 1$ is approximately $-53.837$ ft/sec.

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 1.2절 · 10번우리말 번역

다음 각 조건에 대해, 주어진 좌표축 위에 설명한 성질을 갖는 함수의 그래프를 그리세요.

똑같은 빈 좌표축 두 개. 각 좌표축에서 x는 가로로 -3.5부터 3.5까지, y는 세로로 -3.5부터 3.5까지이다. 모눈 한 칸은 각각 가로 0.5, 세로 0.5이다.

(a)의 $y = f(x)$ 와 (b)의 $y = g(x)$ 를 그리기 위한 좌표축.

(a) 다음을 만족시키는 $y = f(x)$

$f(-2) = 2$ 이고 $\lim_{x \to -2} f(x) = 1$
$f(-1) = 3$ 이고 $\lim_{x \to -1} f(x) = 3$
$f(1)$ 은 정의되지 않고 $\lim_{x \to 1} f(x) = 0$
$f(2) = 1$ 이고 $\lim_{x \to 2} f(x)$ 는 존재하지 않는다. (b) 다음을 만족시키는 $y = g(x)$
$g(-2) = 3$ , $g(-1) = -1$ , $g(1) = -2$ , $g(2) = 3$
$x = -2, -1, 1$ 과 $2$ 에서 $g$ 는 극한을 갖고, 그 극한은 그 점에서의 함숫값과 같다.
$g(0)$ 은 정의되지 않고 $\lim_{x \to 0} g(x)$ 는 존재하지 않는다.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 가능한 그래프의 하나는 다음과 같다. 주어진 조건을 만족시키는 함수 f(x)의 가능한 그래프의 하나. x = -2에서 그래프의 점 (-2,1)에는 작은 빈 원이, (-2,2)에는 작은 색칠한 원이 있어 이를 나타낸다 (b) 가능한 그래프의 하나는 다음과 같다. 주어진 조건을 만족시키는 함수 g(x)의 가능한 그래프의 하나. 특히 그래프는 점 (-2,3), (-1,-1), (1,-2), (2,3)을 지난다. x = 0의 왼쪽에서 그래프는 하나의

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