평균변화율과 미분계수 연습문제 — Active Calculus · 1.3절 · 12번

Active Calculus · 1.3절 · 12번우리말 번역

중국의 인구 $P$ (단위: 십억 명)를 함수 $P(t) = 1.15(1.014)^t$ 으로 근사할 수 있다고 하자. 여기서 $t$ 는 1993년 초부터 지난 햇수이다.

(a) 이 모델에 따르면, 1993년 1월 1일부터 2000년 1월 1일까지 중국 인구의 총 변화량은 얼마였습니까? 이 기간 동안 인구의 평균변화율은 얼마입니까? 이 평균변화율은 2000년 1월 1일의 인구의 순간변화율보다 큽니까, 작습니까? 모든 답에 알맞은 단위를 반드시 포함하여 설명하고 근거를 제시하세요. (b) 이 모델에 따르면, 2012년 1월 1일부터 시작하는 10년 동안 중국 인구의 평균변화율은 얼마입니까? 구하세요. (c) 오늘 날짜에서 인구의 정확한 순간변화율을 나타내는, 극한을 포함한 식을 쓰세요. 그런 다음 이 극한의 값을 어림하고(어떤 방법으로 어림하기로 했는지 설명하세요), 구한 값의 의미를 단위를 포함하여 설명하세요. (d) 오늘 날짜로 주어지는 $t$ 의 값에 해당하는 점에서 함수 $y = P(t)$ 의 접선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose that the population, $P$ , of China (in billions) can be approximated by the function $P(t) = 1.15(1.014)^t$ where $t$ is the number of years since the start of 1993.

(a) According to the model, what was the total change in the population of China between January 1, 1993 and January 1, 2000? What will be the average rate of change of the population over this time period? Is this average rate of change greater or less than the instantaneous rate of change of the population on January 1, 2000? Explain and justify, being sure to include proper units on all your answers. (b) According to the model, what is the average rate of change of the population of China in the ten-year period starting on January 1, 2012? (c) Write an expression involving limits that, if evaluated, would give the exact instantaneous rate of change of the population on today's date. Then estimate the value of this limit (discuss how you chose to do so) and explain the meaning (including units) of the value you have found. (d) Find an equation for the tangent line to the function $y = P(t)$ at the point where the $t$ -value is given by today's date.

정답·풀이 보기

(a) 먼저 $P(7)-P(0) = 115(1.014)^7-115(1.014)^0 \approx 0.1175$ 십억 명이 총 인구 변화량이다. 따라서 이 기간의 평균변화율은 $AV_{[0,7]}=\frac{0.1175}{7} \approx 0.01679$ 십억 명/년이다. $t = 7$ 에서의 인구의 순간변화율은 $P'(7) = \lim_{h \to 0} AV_{[7,7+h]} = \lim_{h \to 0} \frac{115(1.014)^{7+h}-115(1.014)^7}{h}\,$ 이고, 작은 $h$ 값들로 이 값을 어림하면 $P'(7) \approx 0.1762$ 이다. 그러므로 $t = 7$ 에서의 순간변화율은 구간 $[0,7]$ 에서 $P$ 의 평균변화율보다 크다. (b) 평균변화율의 공식을 이용하면, $AV_{[19,29]}=\frac{1.15(1.014)^{29}-1.15(1.014)^{19}}{29-19} \approx 0.02234$ 십억 명/년이다. (c) 오늘 날짜를 2015년 7월 1일이라고 하면 $t = 22.5$ 이므로 $P'(22.5)$ 를 계산하면 된다. 극한의 정의에 따라 $P'(22.5) = \lim_{h \to 0} \frac{115(1.014)^{22.5+h}-115(1.014)^{22.5}}{h}\,.$ 작은 $h$ 값들로 이 극한을 어림하면 $P'(22.5) \approx 0.02186$ 이고, 단위는 십억 명/년이다. (d) 기울기가 $P'(22.5) \approx 0.02186$ 이고 점 $(22.5, P(22.5))$ 를 지나는 접선의 방정식을 구하면 된다. 점-기울기 꼴을 이용하면, 이 직선은 $y - 1.57236 = 0.02186(t-22.5)\,$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) First, $P(7)-P(0) = 115(1.014)^7-115(1.014)^0 \approx 0.1175$ billion people is the total population change. It follows that the average rate of change over this time period is $AV_{[0,7]}=\frac{0.1175}{7} \approx 0.01679$ billion people per year. The instantaneous rate of change of the population at $t = 7$ is $P'(7) = \lim_{h \to 0} AV_{[7,7+h]} = \lim_{h \to 0} \frac{115(1.014)^{7+h}-115(1.014)^7}{h}\,,$ and approximating this quantity with small values of $h$ , it follows that $P'(7) \approx 0.1762$ . Hence, the instantaneous rate of change at $t = 7$ is greater than the average rate of change of $P$ on the interval $[0,7]$ . (b) Using the formula for average rate of change, $AV_{[19,29]}=\frac{1.15(1.014)^{29}-1.15(1.014)^{19}}{29-19} \approx 0.02234$ billion people/year. (c) We will say that today's date is July 1, 2015, which means that $t = 22.5$ , so we want to compute $P'(22.5)$ . The limit definition tells us that $P'(22.5) = \lim_{h \to 0} \frac{115(1.014)^{22.5+h}-115(1.014)^{22.5}}{h}\,.$ Estimating this limit by using small values of $h$ , we determine that $P'(22.5) \approx 0.02186$ , which is measured in billions of people per year. (d) We want the equation of the tangent line that has slope $P'(22.5) \approx 0.02186$ and that passes through the point $(22.5, P(22.5))$ . Using point-slope form, it follows that the line is given by $y - 1.57236 = 0.02186(t-22.5)\,.$

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 1.3절 · 13번우리말 번역

이 문제의 목표는 여러 함수에 대해 한 점에서의 미분계수의 값을 구하되, 각 함수마다 세 가지 서로 다른 방법으로 구한 다음, 그 결과를 비교하여 세 방법이 모두 같은 값을 내는지 확인하는 것이다.

다음 각 함수에 대해 도함수의 극한 정의를 사용하여 세 가지 방법으로 $f'(a)$ 의 값을 구하세요. 먼저 대수적 방법을 써서 (극한을 정확히 계산하여) 구하려고 노력하고, 그다음 수치적 근거(작은 $h$ 의 값)로 그 결과를 검증하고, 마지막으로 $(a,f(a))$ 근처에서 $y = f(x)$ 의 그래프를 알맞은 접선과 함께 그려서 $f'(a)$ 의 값을 시각적으로 어림하세요. 세 방법으로 얻은 결과를 서로 비교하세요. 대수적 방법을 끝내지 못하더라도 수치적 방법과 그래프를 이용한 방법은 계속 진행하세요.

(a) $f(x) = x^2 - 3x$ , $a = 2$ (b) $f(x) = \frac{1}{x}$ , $a = 1$ (c) $f(x) = \sqrt{x}$ , $a = 1$ (d) $f(x) = 2 - |x-1|$ , $a = 1$ (e) $f(x) = \sin(x)$ , $a = \frac{\pi}{2}$

다 풀었으면 정답 확인

(a) 아래 표는 $a=2$ 이고 $h$ 가 작은 여러 값일 때 차분몫 $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 의 값을 나타낸 것이다. 이 표는 $f'(2)$ 가 약 $1$ 임을 나타낸다.

$h$	$-0.0001$	$-0.001$	$-0.01$	$0.01$	$0.001$	$0.0001$
$\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$	$0.9999$	$0.9990$	$0.9900$	$1.0100$	$1.0010$	$1.0001$
다음 그림과 같이 점 $(2,f(2))$ 에서 $f$ 의 접선의 기울기는 약 1로 보인다.

마지막으로 대수적 방법으로 이 어림값을 확인한다. $x=a$ 에서 $f$ 의 미분계수의 정의에 의해
$\begin{aligned}f'(2) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\left[(2+h)^2 - 3(2+h)\right] - (-2)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\left[4+4h+h^2 - 6 - 3h\right] + 2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{h^2 + h}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{h(h+1)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} h+1 \\ &= 1\end{aligned}$
이는 수치적 방법과 기하적 방법으로 얻은 결론을 확인해 준다.
(b) 다음 표는 $a=1$ 이고 $h$ 가 작은 여러 값일 때 차분몫 $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 의 값을 나타낸 것이다. 이 표는 $f'(1)$ 이 약 $-1$ 임을 나타낸다.
$h$	$-0.0001$	$-0.001$	$-0.01$	$0.01$	$0.001$	$0.0001$
---	---	---	---	---	---	---
$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$	$-1.00010$	$-1.001001$	$-1.010101$	$-0.990099$	$-0.999001$	$-0.999900$
다음 그림과 같이 점 $(1,f(1))$ 에서 $f$ 의 접선의 기울기는 약 $-1$ 로 보인다.

마지막으로 대수적 방법으로 이 어림값을 확인한다. $x=a$ 에서 $f$ 의 미분계수의 정의에 의해
$\begin{aligned}f'(1) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1+h} - 1}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1+h} - 1}{h} \left(\frac{1+h}{1+h} \right) \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{1-(1+h)}{h(1+h)} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{-h)}{h(1+h)} \\ &= \lim_{h \to 0} -\frac{1}{1+h} \\ &= -1\end{aligned}\,.$ 이는 수치적 방법과 기하적 방법으로 얻은 결론을 확인해 준다.
(c) 아래 표는 $a=1$ 이고 $h$ 가 작은 여러 값일 때 차분몫 $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 의 값을 나타낸 것이다. 이 표는 $f'(1)$ 이 약 $0.5$ 임을 나타낸다.
$h$	$-0.0001$	$-0.001$	$-0.01$	$0.01$	$0.001$	$0.0001$
---	---	---	---	---	---	---
$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$	$0.50001300$	$0.50012510$	$0.50125629$	$0.49875620$	$0.49987500$	$0.49999000$
아래 그림과 같이 점 $(1,f(1))$ 에서 $f$ 의 접선의 기울기는 약 $0.5$ 로 보인다.

마지막으로 대수적 방법으로 이 어림값을 확인한다. $x=a$ 에서 $f$ 의 미분계수의 정의에 의해
$\begin{aligned}f'(1) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{1+h}-\sqrt{1}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{1+h}-1}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{1+h}-1}{h} \left(\frac{\sqrt{1+h}+1}{\sqrt{1+h}+1} \right) \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)-1}{h(\sqrt{1+h}+1)} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{1+h}+1)} \\ &= \frac{1}{\sqrt{1+h}+1} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}\,.$ 이는 수치적 방법과 기하적 방법으로 얻은 결론을 확인해 준다.
(d) 다음 표의 자료는 $\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ 의 값이 $h < 0$ 일 때 $1$ 이고 $h > 0$ 일 때 $-1$ 임을 나타낸다. 이는 $f'(1)$ 이 존재하지 않음을 뜻한다.
$h$	$-0.0001$	$-0.001$	$-0.01$	$0.01$	$0.001$	$0.0001$
---	---	---	---	---	---	---
$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$	$1$	$1$	$1$	$-1$	$-1$	$-1$
아래 그림에서 $f$ 의 그래프는 점 $(1,f(1))$ 에서 뾰족한 모서리를 갖는 것으로 보이며, 이 역시 $(1,f(1))$ 에서 $f$ 의 접선이 없음을 뜻한다.
![구간 0.2 < x < 1.8 에서 함수 f(x) = 2-	x-1	의 그래프와, 그래프 위의 점 (1,2)에 초점을 맞춘 그림이다. 이 함수는 점 (1,2)에서 뾰족한 모서리를 갖는다.](activecalc/1_3_Ez4d_soln.svg)
이제 대수적 방법으로 이 어림값을 확인한다. 먼저
$\begin{aligned}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} &= \frac{[2-\|(1+h)-1\|] - 2}{h} \\ &= \frac{(2-\|h\|)-2}{h} \\ &= \frac{-\|h\|}{h}\end{aligned}$
임에 주목한다. 절댓값 함수의 정의에 의해 $h \ge 0$ 이면 $\|h\| = h$ 이고, $h < 0$ 이면 $\|h\| = -h$ 이다. 따라서 $h > 0$ 일 때
$\frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \frac{-\|h\|}{h} = -\frac{h}{h} = -1$
이고, $h < 0$ 일 때
$\frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \frac{-\|h\|}{h} = -\frac{-h}{h} = 1\,.$ 이로써 $\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ 이 존재하지 않음이 확인된다.
(e) 다음 표의 자료는 $h \to 0$ 일 때 $\frac{f(\frac{\pi}{2}+h)-f(\frac{\pi}{2})}{h}$ 가 $0$ 에 가까워짐을 나타낸다.
$h$	$-0.0001$	$-0.001$	$-0.01$	$0.01$	$0.001$	$0.0001$
---	---	---	---	---	---	---
$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$	$0.00005$	$0.0005$	$0.005$	$-0.005$	$-0.0005$	$-0.00005$
아래 그림에서 $f$ 의 그래프는 점 $(\frac{\pi}{2},f(\frac{\pi}{2}))$ 에서 수평인 접선을 가지며, 이 역시 $f'(\frac{\pi}{2}) = 0$ 임을 시사한다.

마지막으로 대수적 방법으로 이 어림값을 확인해 본다. 먼저
$\begin{aligned}\frac{f(\frac{\pi}{2}+h)-f(\frac{\pi}{2})}{h} &= \frac{\sin(\frac{\pi}{2}+h) - \sin \frac{\pi}{2}}{h} \\ &= \frac{\sin(\frac{\pi}{2}+h) - 1}{h}\end{aligned}$
임에 주목한다. 사인 함수의 덧셈정리를 이용하면
$\sin(\frac{\pi}{2}+h) = \sin \frac{\pi}{2} \cos(h) + \cos \frac{\pi}{2} \sin(h) = 1 \cdot \cos(h) + 0 \cdot \sin(h) = \cos(h)\,.$ 따라서
$\begin{aligned}f'(\frac{\pi}{2}) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(\frac{\pi}{2}+h)-f(\frac{\pi}{2})}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\cos(h) - 1}{h}\end{aligned}$
이 시점에서 대수적 방법으로는 더 이상 계산할 수 없는 극한을 만난다. 앞에서 다룬 극한과 마찬가지로 작은 $h$ 의 값을 이용하여 이 극한을 어림할 수 있다. 그렇게 하면 이 극한도 $0$ 에 가까워짐이 확인되므로, $f'(\frac{\pi}{2}) = 0$ 이라고 결론짓는다.

이 문제로 이어서 풀기

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