가 두 번 미분가능한 함수이고 이 연속이며, 다음 정보가 알려져 있다고 합시다: , , .
(a) 근처에서 는 증가하나요, 감소하나요? 근처에서 는 아래로 볼록인가요, 위로 볼록인가요? (b) 은 보다 크다고, 과 같다고, 아니면 보다 작다고 예상하나요? 그 이유는 무엇인가요? (c) 은 보다 크다고, 와 같다고, 아니면 보다 작다고 예상하나요? 그 이유는 무엇인가요? (d) 근처에서 의 그래프를 그리고, 접선의 그래프도 함께 그리세요.
영어 원문 보기
Suppose that is a twice-differentiable function such that is continuous for which the following information is known: , , .
(a) Is increasing or decreasing near ? Is concave up or concave down near ? (b) Do you expect to be greater than , equal to , or less than ? Why? (c) Do you expect to be greater than , equal to , or less than ? Why? (d) Sketch a graph of near and include a graph of the tangent line.
정답·풀이 보기
(a) 가 양수이므로 는 근처에서 증가하고, 가 음수이므로 는 근처에서 위로 볼록이다.
(b) 이 주어져 있다. 가 에서 증가하므로 은 보다 클 것으로 예상된다.
(c) 가 음수이므로 은 2 근처에서 감소한다. 따라서 은 보다 작을 것으로 예상된다.
(d) 다음 그림은 점 을 순간변화율 로 지나고, 에서의 이계도함수가 음수가 되는 함수 의 그래프로 가능한 한 예이다.
원본 교재 풀이(영어)
(a) Since is positive, is increasing near , and since is negative, is concave down near .
(b) We are given that . Since is increasing at , we expect to be greater than .
(c) Since is negative, we also know that is decreasing near . Thus, we expect that will be less than .
(d) In the following figure, we see a possible graph of a function that passes through the point at an instantaneous rate of and in such a way that its second derivative at is negative.
한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 1.6절 · 13번우리말 번역
다음 각 조건에 대하여, 구간 에서 주어진 성질을 만족하는 함수의 그래프를 가능한 한 가지 그리세요.
(a) 가 에서 증가하고, 에서 아래로 볼록하며, 에서 위로 볼록한 . (b) 가 에서 증가하고, 에서 위로 볼록하며, 에서 아래로 볼록한 . (c) 가 에서 감소하고, 에서 아래로 볼록하며, 에서 아래로 볼록도 위로 볼록도 아니고, 에서 위로 볼록한 . (d) 가 에서 감소하면서 위로 볼록하고, 에서 증가하면서 위로 볼록한 .
다 풀었으면 정답 확인
(a) 함수가 증가할 때 그래프는 가 증가함에 따라 올라가고, 함수가 아래로 볼록하다는 것은 그래프가 그릇 모양이라는 뜻이다. 구간 에서 증가하며 아래로 볼록한 함수 의 그래프는 다음 그림과 같다. 함수가 위로 볼록할 때 그래프는 뒤집힌 그릇 모양이다. 그림의 함수 는 구간 에서 증가하며 위로 볼록하다. 는 전체 구간 에서도 증가함에 유의한다.
(b) 함수가 증가할 때 그래프는 가 증가함에 따라 올라가고, 함수가 위로 볼록하다는 것은 그래프가 뒤집힌 그릇 모양이라는 뜻이다. 구간 에서 증가하며 위로 볼록한 함수 의 그래프는 아래 그림과 같다. 함수가 아래로 볼록할 때 그래프는 그릇 모양이다. 그림의 함수 는 구간 에서 증가하며 아래로 볼록하다. 는 전체 구간 에서도 증가함에 유의한다.
(c) 함수가 감소할 때 그래프는 가 증가함에 따라 내려가고, 함수가 아래로 볼록하다는 것은 그래프가 그릇 모양이라는 뜻이다. 구간 에서 감소하며 아래로 볼록한 함수 의 그래프는 아래 그림과 같다. 아래로 볼록도 위로 볼록도 아니려면 그래프가 직선이어야 하므로, 다음 그림에서 의 그래프는 에서 직선이다. 함수가 위로 볼록할 때 그래프는 뒤집힌 그릇 모양이다. 그림의 함수 는 구간 에서 감소하며 위로 볼록하다. 는 전체 구간 에서 감소함에 유의한다.
(d) 함수가 감소할 때 그래프는 가 증가함에 따라 내려가고, 함수가 위로 볼록하다는 것은 그래프가 뒤집힌 그릇 모양이라는 뜻이다. 구간 에서 감소하며 위로 볼록한 함수 의 그래프는 아래 그림과 같다. 함수가 증가할 때 그래프는 가 증가함에 따라 올라간다. 그림의 함수 는 구간 에서 증가하며 위로 볼록하다.
