이계도함수와 오목·볼록 연습문제 — Active Calculus · 1.6절 · 13번

Active Calculus · 1.6절 · 13번우리말 번역

다음 각 조건에 대하여, 구간 $-3 < x < 3$ 에서 주어진 성질을 만족하는 함수의 그래프를 가능한 한 가지 그리세요.

(a) $f$ 가 $-3 < x < 3$ 에서 증가하고, $-3 < x < 0$ 에서 아래로 볼록하며, $0 < x < 3$ 에서 위로 볼록한 $y = f(x)$ . (b) $g$ 가 $-3 < x < 3$ 에서 증가하고, $-3 < x < 0$ 에서 위로 볼록하며, $0 < x < 3$ 에서 아래로 볼록한 $y = g(x)$ . (c) $h$ 가 $-3 < x < 3$ 에서 감소하고, $-3 < x < -1$ 에서 아래로 볼록하며, $-1 < x < 1$ 에서 아래로 볼록도 위로 볼록도 아니고, $1 < x < 3$ 에서 위로 볼록한 $y = h(x)$ . (d) $p$ 가 $-3 < x < 0$ 에서 감소하면서 위로 볼록하고, $0 < x < 3$ 에서 증가하면서 위로 볼록한 $y = p(x)$ .

영어 원문 보기

For each prompt that follows, sketch a possible graph of a function on the interval $-3 < x < 3$ that satisfies the stated properties.

(a) $y = f(x)$ such that $f$ is increasing on $-3 < x < 3$ , concave up on $-3 < x < 0$ , and concave down on $0 < x < 3$ . (b) $y = g(x)$ such that $g$ is increasing on $-3 < x < 3$ , concave down on $-3 < x < 0$ , and concave up on $0 < x < 3$ . (c) $y = h(x)$ such that $h$ is decreasing on $-3 < x < 3$ , concave up on $-3 < x < -1$ , neither concave up nor concave down on $-1 < x < 1$ , and concave down on $1 < x < 3$ . (d) $y = p(x)$ such that $p$ is decreasing and concave down on $-3 < x < 0$ and is increasing and concave down on $0 < x < 3$ .

정답·풀이 보기

(a) 함수가 증가할 때 그래프는 $x$ 가 증가함에 따라 올라가고, 함수가 아래로 볼록하다는 것은 그래프가 그릇 모양이라는 뜻이다. 구간 $(-3,0)$ 에서 증가하며 아래로 볼록한 함수 $f$ 의 그래프는 다음 그림과 같다. 함수가 위로 볼록할 때 그래프는 뒤집힌 그릇 모양이다. 그림의 함수 $f$ 는 구간 $(0,3)$ 에서 증가하며 위로 볼록하다. $f$ 는 전체 구간 $(-3,3)$ 에서도 증가함에 유의한다. 문제에서 주어진 조건을 만족하는 그래프이다. 이 함수는 f(x) = sqrt 3 x 와 비슷한 모양이다. (b) 함수가 증가할 때 그래프는 $x$ 가 증가함에 따라 올라가고, 함수가 위로 볼록하다는 것은 그래프가 뒤집힌 그릇 모양이라는 뜻이다. 구간 $(-3,0)$ 에서 증가하며 위로 볼록한 함수 $g$ 의 그래프는 아래 그림과 같다. 함수가 아래로 볼록할 때 그래프는 그릇 모양이다. 그림의 함수 $g$ 는 구간 $(0,3)$ 에서 증가하며 아래로 볼록하다. $g$ 는 전체 구간 $(-3,3)$ 에서도 증가함에 유의한다. 문제에서 주어진 조건을 만족하는 그래프이다. 이 함수는 f(x) = x 3 과 비슷한 모양이다. (c) 함수가 감소할 때 그래프는 $x$ 가 증가함에 따라 내려가고, 함수가 아래로 볼록하다는 것은 그래프가 그릇 모양이라는 뜻이다. 구간 $(-3,-1)$ 에서 감소하며 아래로 볼록한 함수 $h$ 의 그래프는 아래 그림과 같다. 아래로 볼록도 위로 볼록도 아니려면 그래프가 직선이어야 하므로, 다음 그림에서 $h$ 의 그래프는 $(-1,1)$ 에서 직선이다. 함수가 위로 볼록할 때 그래프는 뒤집힌 그릇 모양이다. 그림의 함수 $h$ 는 구간 $(1,3)$ 에서 감소하며 위로 볼록하다. $h$ 는 전체 구간 $(-3,3)$ 에서 감소함에 유의한다. 문제에서 주어진 조건을 만족하는 그래프이다. 이 함수는 x lt -1 또는 x gt 1 일 때 f(x) = -x 3 과 비슷한 모양이다. 구간 -1 le x le 1 에서 이 함수는 직선이며, 이 직선은 다음 두 점을 잇는다. (d) 함수가 감소할 때 그래프는 $x$ 가 증가함에 따라 내려가고, 함수가 위로 볼록하다는 것은 그래프가 뒤집힌 그릇 모양이라는 뜻이다. 구간 $(-3,0)$ 에서 감소하며 위로 볼록한 함수 $p$ 의 그래프는 아래 그림과 같다. 함수가 증가할 때 그래프는 $x$ 가 증가함에 따라 올라간다. 그림의 함수 $p$ 는 구간 $(0,3)$ 에서 증가하며 위로 볼록하다. 문제에서 주어진 조건을 만족하는 그래프이다. 이 함수는 아래로 열린 두 포물선이 (0,-1.5) 의 뾰족한 점에서 만나는 모양이다. 왼쪽 포물선은 꼭짓점이 (-3,3) 에 있고, 그

원본 교재 풀이(영어)

(a) When a function is increasing, its graph rises as $x$ increases, and when a function is concave up, that means the graph of the function looks bowl-shaped. A graph of an increasing, concave up function $f$ on the interval $(-3,0)$ is shown in the following figure. When a function is concave down, its graph looks like an upside down bowl. The function $f$ in the figure is increasing and concave down on the interval $(0,3)$ Note that $f$ is also increasing on the entire interval $(-3,3)$ . A graph that meets the stated criteria of the exercise. This function looks like f(x) = sqrt 3 x . (b) When a function is increasing, its graph rises as $x$ increases, and when a function is concave down, that means the graph of the function looks like an upside down bowl. A graph of an increasing, concave down function $g$ on the interval $(-3,0)$ is shown in the figure below. When a function is concave up, its graph looks like a bowl. The function $g$ in the figure is increasing and concave up on the interval $(0,3)$ . Note that $g$ is also increasing on the entire interval $(-3,3)$ . A graph that meets the stated criteria of the exercise. This function looks like f(x) = x 3. (c) When a function is decreasing, its graph falls as $x$ increases, and when a function is concave up, that means the graph of the function looks bowl-shaped. A graph of a decreasing, concave up function $h$ on the interval $(-3,-1)$ is shown in the figure below. To be neither concave up or concave down, a graph has to be linear, so the graph of $h$ in the following figure is a straight line on $(-1,1)$ . When a function is concave down, its graph looks like an upside down bowl. The function $h$ in the figure is decreasing and concave down on the interval $(1,3)$ . Note that $h$ is decreasing on the entire interval $(-3,3)$ . A graph that meets the stated criteria of the exercise. This function looks like f(x) = -x 3 provided that x lt -1 or x gt 1. On the interval -1 le x le 1, the function is a straight line that joins t (d) When a function is decreasing, its graph falls as $x$ increases, and when a function is concave down, that means the graph of the function looks like an upside down bowl. A graph of a decreasing, concave down function $p$ on the interval $(-3,0)$ is shown in the figure below. When a function is increasing, its graph rises as $x$ increases. The function $p$ in the figure is increasing and concave down on the interval $(0,3)$ . A graph that meets the stated criteria of the exercise. This function looks like two downward-opening parabolas that meet at a corner point at (0,-1.5). The left parabola has its vertex at (-3,3); the

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 1.6절 · 12번우리말 번역

번지점프를 하는 사람의 높이 $h$ (피트 단위)가 시각 $t$ (초 단위)에 따라 변하는 모습이 다음 표에 일부 주어져 있다.

$t$	$0.0$	$0.5$	$1.0$	$1.5$	$2.0$	$2.5$	$3.0$	$3.5$	$4.0$	$4.5$	$5.0$
$h(t)$	$200$	$184.2$	$159.9$	$131.9$	$104.7$	$81.8$	$65.5$	$56.8$	$55.5$	$60.4$	$69.8$
---	---	---	---	---	---	---	---	---	---	---
$h(t)$	$81.6$	$93.7$	$104.4$	$112.6$	$117.7$	$119.4$	$118.2$	$114.8$	$110.0$	$104.7$

(a) 주어진 자료를 이용하여 $h'(4.5)$ , $h'(5)$ , $h'(5.5)$ 를 어림하세요. 이 시각들 중 번지점프를 하는 사람이 가장 빠르게 올라가는 때는 언제인지 구하세요. (b) 주어진 자료와 (a)의 결과를 이용하여 $h''(5)$ 를 어림하세요. (c) $h''(5)$ 의 값은 번지점프를 하는 사람의 어떤 물리량을 나타내는지 설명하세요. 그 단위는 무엇인지 구하세요. (d) 자료를 바탕으로, 함수 $y = h(t)$ 가 위로 볼록한 시간 구간은 대략 어디인지 구하세요. 이 시간 구간에서 번지점프를 하는 사람의 속도는 어떻게 변하는지 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 요청된 미분계수를 어림하기 위해 중심차분을 사용한다. 따라서 $\begin{aligned}h'(4.5) &\approx \frac{h(5)-h(4)}{5-4} = \frac{69.8 - 55.5}{1} = 14.3 \\ h'(5) &\approx \frac{h(5.5)-h(4.5)}{5.5-4.4} = \frac{81.6 - 60.4}{1} = 21.2 \\ h'(5.5) &\approx \frac{h(6)-h(5)}{6-5} = \frac{93.7 - 69.8}{1} = 23.9\end{aligned}$ 번지점프를 하는 사람은 $t = 5.5$ 일 때 약 $23.9$ 피트/초의 속도로 가장 빠르게 올라간다. (b) 다시 중심차분을 사용하여 이번에는 $h''(5)$ 를 어림한다. 다음을 보면 $h''(5) \approx \frac{h'(5.5) - h'(4.5)}{5.5-4.5} = \frac{23.9 - 14.3}{1} = 9.6$ 이다. (c) $h''(5)$ 는 $t = 5$ 일 때 번지점프를 하는 사람의 가속도를 나타낸다. 따라서 $t = 5$ 일 때 그 사람의 가속도는 약 $9.6$ 피트/초²임을 알 수 있다. 이는 점프하는 사람의 속도의 순간변화율을 나타낸다. (d) 번지점프를 하는 사람의 위치 함수는 대략 구간 $0 < t < 2$ , $6 < t < 10$ 에서 위로 볼록하다. 이는 엑셀 같은 프로그램으로 자료를 그래프로 나타내면 가장 쉽게 확인할 수 있다. 이 시간 구간에서는 점프하는 사람의 속도가 감소한다. 즉, 속도가 양수이면서 덜 양수가 되거나, 음수이면서 더 음수가 된다.

이 문제로 이어서 풀기

# 이계도함수와 오목·볼록그래프·표 해석자동 분류