미분가능성과 연속성 연습문제 — Active Calculus · 1.7절 · 8번

Active Calculus · 1.7절 · 8번우리말 번역

다음 각 항목에 대해, 주어진 조건을 만족하는 함수의 예를 하나씩 드세요. 각 항목은 식이나 그래프와 함께 그 이유를 제시하면 충분합니다. 그러한 예가 불가능하면 그 이유를 설명하세요.

(a) $a = 2$ 에서 연속이지만 $a = 2$ 에서 미분가능하지 않은 함수 $f$ . (b) $a = 3$ 에서 미분가능하지만 $a=3$ 에서 극한이 존재하지 않는 함수 $g$ . (c) $a = -2$ 에서 극한이 존재하고 $a = -2$ 에서 정의되지만, $a = -2$ 에서 연속이 아닌 함수 $h$ . (d) 다음을 모두 만족하는 함수 $p$ .

$p(-1) = 3$ 이고 $\lim_{x \to -1} p(x) = 2$
$p(0) = 1$ 이고 $p'(0) = 0$
$\lim_{x \to 1} p(x) = p(1)$ 이고 $p'(1)$ 은 존재하지 않는다

영어 원문 보기

For each of the following prompts, give an example of a function that satisfies the stated criteria. A formula or a graph, with reasoning, is sufficient for each. If no such example is possible, explain why.

(a) A function $f$ that is continuous at $a = 2$ but not differentiable at $a = 2$ . (b) A function $g$ that is differentiable at $a = 3$ but does not have a limit at $a=3$ . (c) A function $h$ that has a limit at $a = -2$ , is defined at $a = -2$ , but is not continuous at $a = -2$ . (d) A function $p$ that satisfies all of the following:

$p(-1) = 3$ and $\lim_{x \to -1} p(x) = 2$
$p(0) = 1$ and $p'(0) = 0$
$\lim_{x \to 1} p(x) = p(1)$ and $p'(1)$ does not exist

정답·풀이 보기

(a) 함수 $f(x) = |x-2|$ 는 $f(2) = 0 = \lim_{x \to 2} f(x)$ 이므로 $a = 2$ 에서 연속이지만, $a = 2$ 에서 $f$ 의 그래프가 꺾인 점이므로 $a = 2$ 에서 미분가능하지 않다. (b) 불가능하다. 한 점에서 미분가능한 함수는 반드시 그 점에서 극한이 존재한다. (c) $x \ne -2$ 인 모든 $x$ 에 대해 $f(x) = 1$ 이고 $f(-2) = 4$ 로 정의된 함수를 $f$ 라 하자. 이 함수는 $x \to -2$ 일 때 극한이 $1$ 이지만, $f(-2) = 4 \ne 1$ 이므로 $a = -2$ 에서 연속이 아니다. (d) 원하는 성질을 갖는 함수 $p$ 의 한 예가 다음 그림에 나타나 있다. 가능한 함수 p는 다음과 같이 구간별로 정의된다. x가 1보다 작거나 1보다 클 때 함수는 상수이며 p(x) = 1이고, x가 -1보다 크고 1 이하일 때 p(x) = x 2 + 1이며, p(-1) = 3이다. 그래프에는

원본 교재 풀이(영어)

(a) The function $f(x) = |x-2|$ is continuous at $a = 2$ , because $f(2) = 0 = \lim_{x \to 2} f(x)$ , but not differentiable at $a = 2$ because $f$ has a corner point at $a = 2$ . (b) This is impossible. Any function that is differentiable at a point must have a limit at the point. (c) Let $f$ be the function defined to be $f(x) = 1$ for every value of $x \ne -2$ , and such that $f(-2) = 4$ . This function has a limit of $1$ as $x \to -2$ , but since $f(-2) = 4 \ne 1$ , the function is not continus at $a = -2$ . (d) A possible function $p$ that has the desired properties is shown in the following figure. The possible function p is defined piecewise in the following way: for x lt 1 and x gt 1, the function is constant with p(x) = 1; for -1 lt x le 1, p(x) = x 2 + 1; and p(-1) = 3. On the graph, there's

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.1절 · 41번

다음 문제에서 미분계수의 정의(극한식)를 이용해, 주어진 각 함수가 $x=a$ 에서 도함수가 존재하지 않음을 보이세요.

$f(x)=x^{1/3},\ x=0$

다 풀었으면 정답 확인

$\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\frac{x^{1/3}-0}{x-0}=\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x^{2/3}}=\infty$ 이므로 $f'(0)$ 은 존재하지 않는다

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 미분가능성과 연속성그래프·표 해석자동 분류