미분가능성과 연속성 연습문제 — OpenStax 1권 · 3.1절 · 41번

OpenStax 1권 · 3.1절 · 41번우리말 풀이

다음 문제에서 미분계수의 정의(극한식)를 이용해, 주어진 각 함수가 $x=a$ 에서 도함수가 존재하지 않음을 보이세요.

$f(x)=x^{1/3},\ x=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, use the limit definition of derivative to show that the derivative does not exist at $x=a$ for each of the given functions.

$f(x)={x}^{1/3},x=0$

풀이 보기

미분계수의 정의 식을 쓴 극한이 한 값으로 정해지지 않고 $\infty$ 로 커지면 미분계수가 존재하지 않아요.

1
정의 식을 써요. $x=0$ 에서의 미분계수는 $f(0)=0$ 이므로 $f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{x^{1/3}}{x}$ 이 극한이 존재하는지 보면 돼요.
2
식을 정리해요. $\dfrac{x^{1/3}}{x}=x^{1/3-1}=x^{-2/3}=\dfrac{1}{x^{2/3}}$ 예요.
3
좌극한을 구해요. $x\to 0^-$ 일 때 $x^{2/3}=\left(x^{1/3}\right)^2$ 은 항상 양수이면서 $0$ 에 가까워지므로 $\dfrac{1}{x^{2/3}}\to\infty$ 예요. 우극한도 같은 이유로 $\infty$ 예요.
4
결론을 내려요. 극한이 유한한 값이 아니라 $\infty$ 로 발산하므로 $f'(0)$ 은 존재하지 않아요. 그래프로 보면 $x=0$ 에서 접선이 $y$ 축과 나란한 수직선이 되어 기울기를 정할 수 없는 거예요.

답

$\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\frac{x^{1/3}-0}{x-0}=\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x^{2/3}}=\infty$ 이므로 $f'(0)$ 은 존재하지 않는다

자주 하는 실수

$x^{1/3}$ 이 $x=0$ 에서 연속이라서 미분도 된다고 생각하는 실수가 많아요. 연속이어도 미분가능하지 않을 수 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$\lim_{x\to {0}^{-}}\frac{{x}^{1/3}-0}{x-0}=\lim_{x\to {0}^{-}}\frac{1}{{x}^{2/3}}=\infty$

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 1.7절 · 10번우리말 번역

함수 $g(x) = \sqrt{|x|}$ 를 생각하세요.

(a) 그래프를 이용하여 $g$ 가 $x = 0$ 에서 미분가능하지 않은 이유를 시각적으로 설명하세요. (b) 도함수의 극한 정의를 이용하여 다음을 보이세요. $g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{|h|}}{h}\,.$ (c) (b)의 극한을 절댓값이 작은 양수와 음수 $h$ 의 값으로 어림하여 $g'(0)$ 의 값을 알아보세요. 예를 들어 $\frac{\sqrt{|-0.01|}}{0.01}$ 을 계산해 볼 수 있습니다. 0.01보다 0에 더 가까운 값을 포함하여 서로 다른 $h$ 의 값을 (양수와 음수 모두) 여러 개 사용하세요. 이 결과는 $g'(0)$ 에 대해 무엇을 말해 주는지 설명하세요. (d) (a)의 그래프를 이용하여 $y = g'(x)$ 의 대략적인 그래프를 그리세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 아래 (d)의 그림에서 왼쪽에 나타난 것처럼, $g$ 는 $x = 0$ 에서 뾰족한 꼭짓점을 가지므로 이 점에서 $g$ 는 미분가능하지 않다. 정의에 따라 다음을 얻는다. $\begin{aligned}g'(0) & = \lim_{h \to 0} \frac{g(0+h) - g(0)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \frac{g(h) - g(0)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{|h|} - \sqrt{|0|}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{|h|}}{h}\end{aligned}$ (b) 다음 표에 $h$ 가 작은 값일 때 $\frac{\sqrt{|h|}}{h}$ 의 값을 기록하였다.

$h$	$0.1$	$0.01$	$0.001$	$0.0001$	$-0.1$	$-0.01$	$-0.001$	$-0.0001$
$\sqrt{\\|h\\|}/h$	$3.162$	$10$	$31.62$	$100$	$-3.162$	$-10$	$-31.62$	$-100$
이 결과는 다른 관점에서도 $g'(0)$ 이 존재하지 않음을 보여 준다. 절댓값이 작은 음수 $h$ 에 대해 평균변화율은 음수이고 한없이 더 작아진다. 작은 양수 $h$ 에 대해서는 평균변화율이 양수이고 한없이 증가한다. 따라서 $\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{\|h\|}}{h}$ 은 존재하지 않는다.
(c) $g'$ 의 대략적인 그래프는 아래 그림의 오른쪽에 나타나 있다.
![왼쪽은 g(x) = sqrt	x	의 그래프이다. 이 그래프는 가로 방향으로 열린 포물선의 두 조각으로 이루어져 있다. x gt 0 일 때는 포물선 x = y 2 의 위쪽 절반이고, x lt 0 일 때는 포물선의 위쪽 절반이다.](activecalc/1_7_Ez4_Soln-updated.svg)

이 문제로 이어서 풀기

# 미분가능성과 연속성증명·논술보통