미분가능성과 연속성 연습문제 — Active Calculus · 1.7절 · 10번

Active Calculus · 1.7절 · 10번우리말 번역

함수 $g(x) = \sqrt{|x|}$ 를 생각하세요.

(a) 그래프를 이용하여 $g$ 가 $x = 0$ 에서 미분가능하지 않은 이유를 시각적으로 설명하세요. (b) 도함수의 극한 정의를 이용하여 다음을 보이세요. $g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{|h|}}{h}\,.$ (c) (b)의 극한을 절댓값이 작은 양수와 음수 $h$ 의 값으로 어림하여 $g'(0)$ 의 값을 알아보세요. 예를 들어 $\frac{\sqrt{|-0.01|}}{0.01}$ 을 계산해 볼 수 있습니다. 0.01보다 0에 더 가까운 값을 포함하여 서로 다른 $h$ 의 값을 (양수와 음수 모두) 여러 개 사용하세요. 이 결과는 $g'(0)$ 에 대해 무엇을 말해 주는지 설명하세요. (d) (a)의 그래프를 이용하여 $y = g'(x)$ 의 대략적인 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Consider the function $g(x) = \sqrt{|x|}$ .

(a) Use a graph to explain visually why $g$ is not differentiable at $x = 0$ . (b) Use the limit definition of the derivative to show that $g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{|h|}}{h}\,.$ (c) Investigate the value of $g'(0)$ by estimating the limit in (b) using small positive and negative values of $h$ . For instance, you might compute $\frac{\sqrt{|-0.01|}}{0.01}$ . Be sure to use several different values of $h$ (both positive and negative), including ones closer to 0 than 0.01. What do your results tell you about $g'(0)$ ? (d) Use your graph in (a) to sketch an approximate graph of $y = g'(x)$ .

정답·풀이 보기

(a) 아래 (d)의 그림에서 왼쪽에 나타난 것처럼, $g$ 는 $x = 0$ 에서 뾰족한 꼭짓점을 가지므로 이 점에서 $g$ 는 미분가능하지 않다. 정의에 따라 다음을 얻는다. $\begin{aligned}g'(0) & = \lim_{h \to 0} \frac{g(0+h) - g(0)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \frac{g(h) - g(0)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{|h|} - \sqrt{|0|}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{|h|}}{h}\end{aligned}$ (b) 다음 표에 $h$ 가 작은 값일 때 $\frac{\sqrt{|h|}}{h}$ 의 값을 기록하였다.

$h$	$0.1$	$0.01$	$0.001$	$0.0001$	$-0.1$	$-0.01$	$-0.001$	$-0.0001$
$\sqrt{\\|h\\|}/h$	$3.162$	$10$	$31.62$	$100$	$-3.162$	$-10$	$-31.62$	$-100$
이 결과는 다른 관점에서도 $g'(0)$ 이 존재하지 않음을 보여 준다. 절댓값이 작은 음수 $h$ 에 대해 평균변화율은 음수이고 한없이 더 작아진다. 작은 양수 $h$ 에 대해서는 평균변화율이 양수이고 한없이 증가한다. 따라서 $\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{\|h\|}}{h}$ 은 존재하지 않는다.
(c) $g'$ 의 대략적인 그래프는 아래 그림의 오른쪽에 나타나 있다.
![왼쪽은 g(x) = sqrt	x	의 그래프이다. 이 그래프는 가로 방향으로 열린 포물선의 두 조각으로 이루어져 있다. x gt 0 일 때는 포물선 x = y 2 의 위쪽 절반이고, x lt 0 일 때는 포물선의 위쪽 절반이다.](activecalc/1_7_Ez4_Soln-updated.svg)

원본 교재 풀이(영어)

(a) As seen at left in the figure below in part (d), $g$ has a sharp corner point at $x = 0$ , which makes $g$ not differentiable at this point. By definition, we know $\begin{aligned}g'(0) & = \lim_{h \to 0} \frac{g(0+h) - g(0)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \frac{g(h) - g(0)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{|h|} - \sqrt{|0|}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{|h|}}{h}\end{aligned}$ (b) In the following table, we record the values of $\frac{\sqrt{|h|}}{h}$ for small values of $h$ .

$h$	$0.1$	$0.01$	$0.001$	$0.0001$	$-0.1$	$-0.01$	$-0.001$	$-0.0001$
$\sqrt{\\|h\\|}/h$	$3.162$	$10$	$31.62$	$100$	$-3.162$	$-10$	$-31.62$	$-100$
These results show from a different perspective that $g'(0)$ does not exist. For small negative $h$ values, the difference quotient is negative and getting more negative without bound. For small positive values of $h$ , the difference quotient is positive and increasing without bound. This shows that $\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{\|h\|}}{h}$ does not exist.
(c) An approximate graph of $g'$ is shown at right in the figure below.
![At left, the graph of g(x) = sqrt	x	. The graph consists of two pieces of parabolas that open horizontally: for x gt 0, we have the top half of the parabola x = y 2; for x lt 0, we have the top half](activecalc/1_7_Ez4_Soln-updated.svg)

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 1.7절 · 8번우리말 번역

다음 각 항목에 대해, 주어진 조건을 만족하는 함수의 예를 하나씩 드세요. 각 항목은 식이나 그래프와 함께 그 이유를 제시하면 충분합니다. 그러한 예가 불가능하면 그 이유를 설명하세요.

(a) $a = 2$ 에서 연속이지만 $a = 2$ 에서 미분가능하지 않은 함수 $f$ . (b) $a = 3$ 에서 미분가능하지만 $a=3$ 에서 극한이 존재하지 않는 함수 $g$ . (c) $a = -2$ 에서 극한이 존재하고 $a = -2$ 에서 정의되지만, $a = -2$ 에서 연속이 아닌 함수 $h$ . (d) 다음을 모두 만족하는 함수 $p$ .

$p(-1) = 3$ 이고 $\lim_{x \to -1} p(x) = 2$
$p(0) = 1$ 이고 $p'(0) = 0$
$\lim_{x \to 1} p(x) = p(1)$ 이고 $p'(1)$ 은 존재하지 않는다

다 풀었으면 정답 확인

(a) 함수 $f(x) = |x-2|$ 는 $f(2) = 0 = \lim_{x \to 2} f(x)$ 이므로 $a = 2$ 에서 연속이지만, $a = 2$ 에서 $f$ 의 그래프가 꺾인 점이므로 $a = 2$ 에서 미분가능하지 않다. (b) 불가능하다. 한 점에서 미분가능한 함수는 반드시 그 점에서 극한이 존재한다. (c) $x \ne -2$ 인 모든 $x$ 에 대해 $f(x) = 1$ 이고 $f(-2) = 4$ 로 정의된 함수를 $f$ 라 하자. 이 함수는 $x \to -2$ 일 때 극한이 $1$ 이지만, $f(-2) = 4 \ne 1$ 이므로 $a = -2$ 에서 연속이 아니다. (d) 원하는 성질을 갖는 함수 $p$ 의 한 예가 다음 그림에 나타나 있다. 가능한 함수 p는 다음과 같이 구간별로 정의된다. x가 1보다 작거나 1보다 클 때 함수는 상수이며 p(x) = 1이고, x가 -1보다 크고 1 이하일 때 p(x) = x 2 + 1이며, p(-1) = 3이다. 그래프에는

이 문제로 이어서 풀기

# 미분가능성과 연속성증명·논술자동 분류