선형근사와 미분소 연습문제 — Active Calculus · 1.8절 · 7번

Active Calculus · 1.8절 · 7번대학 수준우리말 번역

어떤 함수 $y=p(x)$ 의 $a = 3$ 에서의 국소 선형화가 $L(x) = -2x + 5$ 로 주어져 있다.

(a) $p(3)$ 과 $p'(3)$ 의 값은 각각 얼마입니까? 그 이유는 무엇입니까? (b) $p(2.79)$ 의 값을 어림하세요. (c) $p''(3) = 0$ 이고 $x < 3$ 에서 $p''(x) < 0$ 이라고 가정합니다. (b)에서 구한 어림값은 너무 큽니까, 너무 작습니까? (d) $x > 3$ 에서 $p''(x) > 0$ 이라고 가정합니다. 이 사실과 위의 추가 정보를 이용하여 $x = 3$ 근처에서 $y = p(x)$ 의 정확한 그래프를 그리세요. 그래프에 $y = L(x)$ 의 그래프도 함께 그리세요.

영어 원문 보기

A certain function $y=p(x)$ has its local linearization at $a = 3$ given by $L(x) = -2x + 5$ .

(a) What are the values of $p(3)$ and $p'(3)$ ? Why? (b) Estimate the value of $p(2.79)$ . (c) Suppose that $p''(3) = 0$ and you know that $p''(x) < 0$ for $x < 3$ . Is your estimate in (b) too large or too small? (d) Suppose that $p''(x) > 0$ for $x > 3$ . Use this fact and the additional information above to sketch an accurate graph of $y = p(x)$ near $x = 3$ . Include a sketch of $y = L(x)$ in your work.

정답·풀이 보기

(a) 접점에서 접선의 값과 기울기는 함수의 값과 기울기와 같으므로 $p(3) = L(3) = -1$ 이고 $p'(3) = L'(3) = -2$ 이다. (b) 국소 선형화를 이용하면 $p(2.79) \approx L(2.79) = -2(2.79) + 5 = -0.58$ 이다. (c) $x < 3$ 에서 $p''(x) < 0$ 이므로 $x < 3$ 에서 $p$ 는 위로 볼록이다. 따라서 접점 $x = 3$ 의 왼쪽에서는 접선이 곡선보다 위에 놓이므로 (b)의 어림값은 너무 크다. (d) 다음 그림은 점 $(3,-1)$ 에서 접선의 값과 기울기가 일치하고, $x=3$ 의 왼쪽에서는 위로 볼록, 오른쪽에서는 아래로 볼록인 함수 $p$ 의 한 가지 예이다. 이 함수는 x 가 3보다 작을 때 위로 볼록이고 x 가 3보다 클 때 아래로 볼록인 삼차 다항식처럼 보인다. 그래프는 점 (3,-1)을 지나고, 대응하는 접선도 그 점을 지나며, 함께…

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since the value and slope of the tangent line match the value and slope of the function at the point of tangency, we know $p(3) = L(3) = -1$ and $p'(3) = L'(3) = -2$ . (b) Using the local linearization, $p(2.79) \approx L(2.79) = -2(2.79) + 5 = -0.58$ . (c) Since $p''(x) < 0$ for $x < 3$ , we know that $p$ is concave down for $x < 3$ . This means to the left of the point of tangency at $x = 3$ , the tangent line lies above the curve, and thus the estimate in (b) is too large. (d) In the following figure, we see a possible function $p$ that matches the value and slope of the tangent line at the point $(3,-1)$ and that is concave down to the left of $x=3$ and concave up to the right. This function appears to be a cubic polynomial that is concave down for x lt 3 and concave up for x gt 3; its graph passes through the point (3,-1) and the corresponding tangent line does as well, wit

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 1.8절 · 10번우리말 번역

어떤 함수 $f$ 의 도함수가 $f'(x) = (x-1)e^{-x^2}$ 임이 알려져 있습니다. $y = f(x)$ 의 식은 알지 못한다는 점에 유의하세요.

(a) $f'(x) = 0$ 이 되는 $x$ 의 값을 모두 구하세요. 대수적으로 답을 정당화하되, 결론을 뒷받침하도록 $f'$ 의 그래프를 포함하세요. (b) 그래프를 이용하여 추론하여, $f''(x) > 0$ 인 $x$ 의 값의 구간을 구하세요. 이것이 원래 함수 $f$ 의 거동에 대해 무엇을 말해 주는지 설명하세요. (c) $f(2) = -3$ 이라고 가정하고, $x=2$ 에서 $f$ 의 접선을 구하여 이를 이용한 근삿값으로 $f(1.88)$ 의 값을 어림하세요. 어림한 값이 $f(1.88)$ 의 참값보다 큰지 작은지 판단하고, 그 이유를 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $e$ 의 거듭제곱은 항상 양수이므로(따라서 $0$ 이 될 수 없으므로), $f'(x) = (x-1)e^{-x^2} = 0$ 이 되게 하는 값은 $x=1$ 뿐이다. 이는 $f'$ 의 그래프를 그려 보면 $x$ 축과 $x=1$ 에서만 만남을 볼 수 있다는 점에서도 확인된다( $x$ 가 한없이 커지거나 작아질 때 그래프가 $x$ 축에 가까워지는 것은 볼 수 있다). (b) $f'$ 이 증가하는 곳에서는 $f''(x) > 0$ 임을 안다. $f'$ 의 그래프에서 $f'$ 은 대략 구간 $-0.37 < x < 1.37$ 에서 증가함을 알 수 있고, 따라서 $f$ 는 이 구간에서 아래로 볼록이다. (c) $a = 2$ 에서의 접선을 이용한 근삿값은 $L(x) = f(2) + f'(2)(x-2) \approx -3 + 0.01832(x-2)$ 이다. 따라서 $f(1.88) \approx L(1.88) \approx -3 + 0.01832(1.88-2) = -3.00022$ 이다. $x = 2$ 및 그 근처에서 $f''(x) < 0$ 이므로 $f$ 는 그곳에서 위로 볼록이고, 따라서 접선은 곡선 위쪽에 놓인다. 그러므로 우리가 어림한 값은 $f(1.88)$ 의 참값보다 크다.

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