곱과 몫의 미분법 연습문제 — Active Calculus · 2.3절 · 11번

Active Calculus · 2.3절 · 11번우리말 번역

$f$ 와 $g$ 를 미분가능한 함수라 하고, 다음 정보가 알려져 있다고 하자: $f(2) = 5$ , $g(2) = -3$ , $f'(2) = -1/2$ , $g'(2) = 2$ .

(a) $h(x) = g(x) \cdot f(x)$ 로 정의된 새로운 함수를 $h$ 라 하자. $h(2)$ 와 $h'(2)$ 를 구하세요. (b) 점 $(2,h(2))$ 에서 $y = h(x)$ 의 접선의 방정식을 구하세요. (단, $h$ 는 (a)에서 정의한 함수입니다.) (c) $r(x) = \frac{g(x)}{f(x)}$ 로 정의된 함수를 $r$ 라 하자. $a = 2$ 에서 $r$ 는 증가하나요, 감소하나요, 아니면 둘 다 아닌가요? 그 이유는 무엇인가요? (d) 점 $(2,r(2))$ 에서 $r$ 의 국소선형근사를 이용하여 $r(2.06)$ 의 값을 어림하세요. (단, $r$ 는 (c)에서 정의한 함수입니다.)

영어 원문 보기

Let $f$ and $g$ be differentiable functions for which the following information is known: $f(2) = 5$ , $g(2) = -3$ , $f'(2) = -1/2$ , $g'(2) = 2$ .

(a) Let $h$ be the new function defined by the rule $h(x) = g(x) \cdot f(x)$ . Determine $h(2)$ and $h'(2)$ . (b) Find an equation for the tangent line to $y = h(x)$ at the point $(2,h(2))$ (where $h$ is the function defined in (a)). (c) Let $r$ be the function defined by the rule $r(x) = \frac{g(x)}{f(x)}$ . Is $r$ increasing, decreasing, or neither at $a = 2$ ? Why? (d) Estimate the value of $r(2.06)$ (where $r$ is the function defined in (c)) by using the local linearization of $r$ at the point $(2,r(2))$ .

정답·풀이 보기

(a) $h(x) = g(x) \cdot f(x)$ 이므로 $h(2) = g(2) \cdot f(2) = (5) \cdot (-3) = -15$ 이다. 또한 곱의 미분법에 의해 $h'(x) = g(x) \cdot f'(x) + f(x) \cdot g'(x)$ 이다. 주어진 함숫값과 미분계수를 이용하면 $h'(2) = g(2) \cdot f'(2) + f(2) \cdot g'(2) = (-3)(-1/2) + (5)(2) = 23/2$ 이다. (b) $a=2$ 에서 $h$ 의 접선은 $L(x) = h(2) + h'(2)(x-2)$ 이므로, (a)의 결과를 이용하면 $L(x) = -15 + 23/2(x-2)$ 이다. (c) $r(x) = \frac{g(x)}{f(x)}$ 이고 몫의 미분법에 의해 $r'(x) = \frac{f(x) \cdot g'(x) - g(x) \cdot f'(x)}{(f(x))^2}$ 이므로 $r'(2) = \frac{f(2) \cdot g'(2) - g(2) \cdot f'(2)}{(f(2))^2}$ 이다. 주어진 함숫값과 미분계수를 이용하면 $r'(2) = \frac{(5)(2) - (-3)(-1/2)}{(5)^2} = \frac{17/2}{25} = \frac{17}{50}$ 이다. 따라서 $r'(2) > 0$ 이므로 $r$ 는 $a = 2$ 에서 증가한다. (d) $a=2$ 에서 $r$ 의 국소선형근사는 $L(x) = r(2) + r'(2)(x-2) = -\frac{3}{5} + \frac{17}{50}(x-2)$ 이므로 $r(2.06) \approx L(2.06) = -\frac{3}{5} + \frac{17}{50}(2.06-2) = -0.5796$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since $h(x) = g(x) \cdot f(x)$ , it follows $h(2) = g(2) \cdot f(2) = (5) \cdot (-3) = -15$ . Further, by the product rule, we know that $h'(x) = g(x) \cdot f'(x) + f(x) \cdot g'(x)$ . Using the given function and derivative values, $h'(2) = g(2) \cdot f'(2) + f(2) \cdot g'(2) = (-3)(-1/2) + (5)(2) = 23/2$ . (b) The tangent line to $h$ at $a=2$ is given by $L(x) = h(2) + h'(2)(x-2)$ , so using our results from (a), we have $L(x) = -15 + 23/2(x-2)$ . (c) Since $r(x) = \frac{g(x)}{f(x)}$ , but the quotient rule that $r'(x) = \frac{f(x) \cdot g'(x) - g(x) \cdot f'(x)}{(f(x))^2}$ , and thus $r'(2) = \frac{f(2) \cdot g'(2) - g(2) \cdot f'(2)}{(f(2))^2}$ . Employing the known function and derivative values, $r'(2) = \frac{(5)(2) - (-3)(-1/2)}{(5)^2} = \frac{17/2}{25} = \frac{17}{50}$ . Therefore, $r'(2) > 0$ , and $r$ is increasing at $a = 2$ . (d) The local linearization of $r$ at $a=2$ is $L(x) = r(2) + r'(2)(x-2) = -\frac{3}{5} + \frac{17}{50}(x-2)$ , and thus $r(2.06) \approx L(2.06) = -\frac{3}{5} + \frac{17}{50}(2.06-2) = -0.5796$ .

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 2.3절 · 15번우리말 번역

$f(v)$ 를 속도 $v$ (km/시)로 달리는 자동차의 연료 소비량(리터/km)이라고 하자. 다시 말해, $f(v)$ 는 자동차가 시속 $v$ 킬로미터로 달릴 때 1킬로미터를 가는 데 사용하는 연료의 양(리터)을 나타낸다. 또한 $f(80)=0.05$ 이고 $f'(80) = 0.0004$ 라고 하자.

(a) $g(v)$ 를 같은 자동차가 속도 $v$ 로 연료 1리터로 갈 수 있는 거리라고 하자. $f(v)$ 와 $g(v)$ 사이의 관계는 무엇입니까? 이를 이용하여 $g(80)$ 과 $g'(80)$ 을 구하세요. (b) $h(v)$ 를 속도 $v$ 로 달리는 자동차의 시간당 연료 소비량(리터/시)이라고 하자. 다시 말해, $h(v)$ 는 자동차가 속도 $v$ 로 달릴 때 1시간 동안 사용하는 연료의 양(리터)을 나타낸다. $h(v)$ 와 $f(v)$ 사이의 대수적 관계는 무엇입니까? 이를 이용하여 $h(80)$ 과 $h'(80)$ 을 구하세요. (c) 미적분을 전혀 모르는 운전자에게 이 함숫값과 미분계수의 실제적인 의미를 어떻게 설명하겠습니까? 답에서 다루는 각 함숫값과 미분계수에 단위를 포함하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $g(v)$ 의 단위는 “킬로미터/리터”임을 알 수 있다. $f(v)$ 의 단위가 “리터/킬로미터”이므로 $g$ 는 $f$ 의 역수이다: $g(v) = \frac{1}{f(v)}$ . 따라서 몫의 미분법에 의해 다음을 얻는다. $g'(v) = \frac{f(v) \cdot 0 - 1 \cdot f'(v)}{f(v)^2} = -\frac{f'(v)}{f(v)^2}\,.$ 또한 주어진 값을 이용하면 $g(80) = \frac{1}{f(80)} = \frac{1}{0.05} = 20$ 킬로미터/리터이고, $g'(80) = -\frac{f'(80)}{f(80)^2} = -\frac{0.0004}{0.05^2} = -0.16$ 이다. 여기서 $g'(80)$ 의 단위는 “킬로미터/리터/(킬로미터/시)”임에 주의한다. (b) $h(v)$ 의 단위는 “리터/시”이고 $f(v)$ 의 단위는 “리터/킬로미터”이므로, $f(v)$ 에 $v$ (단위는 “킬로미터/시”)를 곱하면 $v \cdot f(v)$ 의 단위가 $h(v)$ 의 단위와 일치한다. 따라서 $h(v) = v \cdot f(v)\,.$ 곱의 미분법에 의해 다음을 얻는다. $h'(v) = v \cdot \frac{d}{dv}[f(v)] + \frac{d}{dv}[v] \cdot f(v) = v \cdot f'(v) + 1 \cdot f(v)\,.$ $f$ 의 함숫값과 미분계수를 이용하면 $h(80) = 80 \cdot 0.05 = 4$ 리터/시이고 $h'(80) = 80 \cdot 0.0004 + 0.05 = 0.082$ 리터/시/(킬로미터/시)이다. (c) 미적분을 모르는 사람에게 이 함숫값과 미분계수의 의미를 설명하려면 다음과 같이 말할 수 있다.

주어진 값 $f(80) = 0.05$ 와 $f'(80) = 0.0004$ 는 자동차가 시속 $80$ 킬로미터로 달릴 때 1킬로미터를 가는 데 연료를 $0.05$ 리터 사용한다는 것을 알려 준다. 또한 속도가 시속 $80$ km보다 시속 1킬로미터 더 빨라질 때마다, 자동차는 1킬로미터당 연료를 약 $0.0004$ 리터 더 사용할 것으로 예상된다.
$g(80) = 20$ 과 $g'(80) = -0.16$ 은 자동차가 시속 $80$ 킬로미터로 달릴 때 연료 1리터로 $20$ 킬로미터를 갈 수 있다는 것을 알려 준다. 또한 속도가 시속 $80$ km보다 시속 1킬로미터 더 빨라질 때마다, 자동차는 연료 1리터로 갈 수 있는 거리가 약 $0.16$ 킬로미터 줄어들 것으로 예상된다.
마지막으로 $h(80) = 4$ 와 $h'(80) = 0.82$ 는 자동차가 시속 $80$ 킬로미터로 달릴 때 1시간 동안 연료를 $4$ 리터 사용한다는 것을 알려 준다. 또한 속도가 시속 $80$ km보다 시속 1킬로미터 더 빨라질 때마다, 자동차는 1시간당 연료를 약 $0.082$ 리터 더 사용할 것으로 예상된다. 이 세 가지 관찰은 모두 본질적으로 같은 내용을 서로 다른 관점에서 말하고 있음에 주의한다. 첫째는 연료 소비량을 리터/킬로미터로 나타낸 것이고, 둘째는 킬로미터/리터로 나타낸 것이며, 마지막은 리터/시로 나타낸 것이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 곱과 몫의 미분법계산자동 분류