곱과 몫의 미분법 연습문제 — Active Calculus · 2.3절 · 14번

Active Calculus · 2.3절 · 14번우리말 번역

넓은 땅을 가진 한 농부가 지금까지 매우 다양한 작물을 재배해 왔다. 에탄올 연료의 가격이 오르자, 그는 자신의 농지를 점점 더 많이 옥수수 생산에 쓰는 것이 현명하다고 판단한다. 옥수수를 점점 더 많이 재배하면서 그는 에이커당 수확량을 늘리는 요령을 익힌다. 올해 그는 자신의 땅 7000 에이커에 옥수수를 재배했고, 그 땅의 에이커당 평균 수확량은 170 부셸이었다. 현재 그는 옥수수 재배에 쓰는 면적을 매년 600 에이커의 비율로 늘릴 계획이며, 지금 평균 수확량이 매년 에이커당 8 부셸의 비율로 증가하고 있다고 예상한다. 이 정보를 이용하여 다음 물음에 답하세요.

(a) 올해를 $t = 0$ 이라 하고, $A(t)$ 는 $t$ 년에 농부가 옥수수 재배에 쓰는 면적(에이커)을, $Y(t)$ 는 $t$ 년의 평균 수확량(에이커당 부셸)을, $C(t)$ 는 농부가 생산하는 옥수수의 총 부셸 수를 나타낸다고 하자. $C(t)$ 를 $A(t)$ 와 $Y(t)$ 로 나타내는 식은 무엇인가요? 그 이유는 무엇인가요? (b) $C(0)$ 의 값은 얼마인가요? 이 값은 무엇을 나타내나요? (c) $C'(t)$ 를 $A(t)$ , $A'(t)$ , $Y(t)$ , $Y'(t)$ 로 나타내는 식을 쓰세요. 생각한 과정을 설명하세요. (d) $C'(0)$ 의 값은 얼마인가요? 이 값은 무엇을 나타내나요? (e) 주어진 정보와 위의 풀이를 바탕으로 $C(1)$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

A farmer with large land holdings has historically grown a wide variety of crops. With the price of ethanol fuel rising, he decides that it would be prudent to devote more and more of his acreage to producing corn. As he grows more and more corn, he learns efficiencies that increase his yield per acre. In the present year, he used 7000 acres of his land to grow corn, and that land had an average yield of 170 bushels per acre. At the current time, he plans to increase his number of acres devoted to growing corn at a rate of 600 acres/year, and he expects that right now his average yield is increasing at a rate of 8 bushels per acre per year. Use this information to answer the following questions.

(a) Say that the present year is $t = 0$ , that $A(t)$ denotes the number of acres the farmer devotes to growing corn in year $t$ , $Y(t)$ represents the average yield in year $t$ (measured in bushels per acre), and $C(t)$ is the total number of bushels of corn the farmer produces. What is the formula for $C(t)$ in terms of $A(t)$ and $Y(t)$ ? Why? (b) What is the value of $C(0)$ ? What does it measure? (c) Write an expression for $C'(t)$ in terms of $A(t)$ , $A'(t)$ , $Y(t)$ , and $Y'(t)$ . Explain your thinking. (d) What is the value of $C'(0)$ ? What does it measure? (e) Based on the given information and your work above, estimate the value of $C(1)$ .

정답·풀이 보기

(a) $A(t)$ 에이커에 에이커당 $Y(t)$ 부셸을 곱하면, $t$ 년에 농부가 생산하는 옥수수의 총 부셸 수 $C(t) = A(t)Y(t)$ 부셸을 얻는다. (b) $A(0) = 7000$ 에이커이고 수확량이 $Y(0) = 170$ 에이커당 부셸로 주어져 있으므로 $C(0) = A(0)Y(0) = (7000)(170) = 1190000$ 부셸이다. 따라서 농부는 올해 옥수수 $1 190 000$ 부셸을 생산한다. (c) 곱의 미분법에 의해 $C'(t) = A(t)Y'(t) + A'(t)Y(t)$ 이다. (d) $A(0) = 7000$ 이고 $Y(0) = 170$ 이다. 또한 농부는 옥수수 재배 면적을 매년 $600$ 에이커의 비율로 늘릴 계획이고, 지금 평균 수확량이 매년 에이커당 $8$ 부셸의 비율로 증가하고 있다고 예상한다고 주어져 있다. 따라서 $A'(t) = 600$ 이고 $Y'(0) = 8$ 이다. 그러므로 $C'(0) = A(0)Y'(0) + A'(0)Y(0) = (7000)(8) + (600)(170) = 158 000\,.$ 여기서 $A(t)$ 의 단위는 에이커이고 $Y'(t)$ 의 단위는 매년 에이커당 부셸이므로, $A(0)Y'(0)$ 의 단위는 부셸/년이다. 마찬가지로 $A'(t)$ 의 단위는 에이커/년이고 $Y(t)$ 의 단위는 에이커당 부셸이므로, $A'(0)Y(0)$ 의 단위도 에이커당 부셸이다. 따라서 $C'(0)$ 의 단위는 에이커당 부셸이다. 그러므로 $C'(0) = 158 000$ 은 농부가 생산할 수 있는 부셸 수가 올해 이후 매년 약 $158 000$ 부셸씩 증가함을 나타낸다. (e) $t=0$ 에서 $C$ 의 선형근사는 $L(t) = C(0) + C'(0)(t-0) = 119 0000 + 158 000t$ 이므로, $C(1) \approx L(1) = 119 0000 + 158 000(1) = 1 348 000$ 부셸이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) If we multiply $A(t)$ acres by $Y(t)$ bushels per acre, we arrive at $C(t) = A(t)Y(t)$ bushels as the total number of bushels of corn the farmer produces in year $t$ . (b) We are given that $A(0) = 7000$ acres with a yield of $Y(0) = 170$ bushels per acre, giving us $C(0) = A(0)Y(0) = (7000)(170) = 1190000$ bushels. Thus, the farmer produces $1 190 000$ bushels of corn in the present year. (c) The product rule tells us that $C'(t) = A(t)Y'(t) + A'(t)Y(t)$ . (d) We know $A(0) = 7000$ and $Y(0) = 170$ . We are also given that the farmer will increase his number of acres devoted to growing corn at a rate of $600$ acres/year, and he expects that right now his average yield is increasing at a rate of $8$ bushels per acre per year. This tells us that $A'(t) = 600$ and $Y'(0) = 8$ . So $C'(0) = A(0)Y'(0) + A'(0)Y(0) = (7000)(8) + (600)(170) = 158 000\,.$ Note that the units of $A(t)$ are acres and the units of $Y'(t)$ are bushels per acre per year. So the units of $A(0)Y'(0)$ are bushels per year. Similarly, the units of $A'(t)$ are acres per year and the units of $Y(t)$ are bushels per acre, so the units of $A'(0)Y(0)$ are also bushels per acre. So the units of $C'(0)$ are bushels per acre. Therefore, $C'(0) = 158 000$ tells us that the number of bushels the farmer can produce will increase by approximately $158 000$ bushels for each year past the present year. (e) The linearization of $C$ at $t=0$ is $L(t) = C(0) + C'(0)(t-0) = 119 0000 + 158 000t$ , $C(1) \approx L(1) = 119 0000 + 158 000(1) = 1 348 000$ bushels.

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