합성함수의 미분법 연습문제 — Active Calculus · 2.5절 · 12번

Active Calculus · 2.5절 · 12번우리말 번역

$u(x)$ 를 미분가능한 함수라 하자. 다음 각 함수에 대해 도함수를 구하세요. 각 답에는 $u$ 및/또는 $u'$ 이 포함됩니다.

(a) $p(x) = e^{u(x)}$ (b) $q(x) = u(e^x)$ (c) $r(x) = \cot(u(x))$ (d) $s(x) = u(\cot(x))$ (e) $a(x) = u(x^4)$ (f) $b(x) = (u(x))^4$

영어 원문 보기

Let $u(x)$ be a differentiable function. For each of the following functions, determine the derivative. Each response will involve $u$ and/or $u'$ .

(a) $p(x) = e^{u(x)}$ (b) $q(x) = u(e^x)$ (c) $r(x) = \cot(u(x))$ (d) $s(x) = u(\cot(x))$ (e) $a(x) = u(x^4)$ (f) $b(x) = (u(x))^4$

정답·풀이 보기

(a) 연쇄 법칙에 의해 $p'(x) = e^{u(x)} \cdot u'(x)$ 이다. (b) 연쇄 법칙에 의해 $q'(x) = u'(e^x) \cdot e^x$ 이다. (c) 연쇄 법칙에 의해 $r'(x) = -\csc^2(u(x) \cdot u'(x)$ 이다. (d) 연쇄 법칙에 의해 $s'(x) = u'(\cot(x)) \cdot (-\csc^2(x))$ 이다. (e) 연쇄 법칙에 의해 $a'(x) = u'(x^4) \cdot 4x^3$ 이다. (f) 연쇄 법칙에 의해 $b'(x) = 4(u(x))^3 \cdot u'(x)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) By the chain rule, $p'(x) = e^{u(x)} \cdot u'(x)$ . (b) By the chain rule, $q'(x) = u'(e^x) \cdot e^x$ . (c) By the chain rule, $r'(x) = -\csc^2(u(x) \cdot u'(x)$ . (d) By the chain rule, $s'(x) = u'(\cot(x)) \cdot (-\csc^2(x))$ . (e) By the chain rule, $a'(x) = u'(x^4) \cdot 4x^3$ . (f) By the chain rule, $b'(x) = 4(u(x))^3 \cdot u'(x)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.6절 · 46번우리말 번역

[계산기 사용] 부두에서 물의 깊이(피트)는 조수의 밀물과 썰물에 따라 변한다. 깊이는 함수 $D(t)=5\sin \left(\frac{\pi }{6}t-\frac{7\pi }{6}\right)+8$ 로 모델링되며, 여기서 $t$ 는 자정 이후 경과한 시간 수이다. 오전 6시에 깊이의 변화율을 구하세요.

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$\sim 2.3$ ft/hr

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