역함수의 미분법 연습문제 — Active Calculus · 2.6절 · 8번

Active Calculus · 2.6절 · 8번우리말 번역

다음 각 함수의 도함수를 구하세요. 올바른 표기를 사용하고, 사용한 미분법을 분명히 밝히세요.

(a) $f(x) = \ln(2\arctan(x) + 3\arcsin(x) + 5)$ (b) $r(z) = \arctan(\ln(\arcsin(z)))$ (c) $q(t) = \arctan^2(3t) \arcsin^4(7t)$ (d) $g(v) = \ln\left( \frac{\arctan(v)}{\arcsin(v) + v^2} \right)$

영어 원문 보기

Determine the derivative of each of the following functions. Use proper notation and clearly identify the derivative rules you use.

(a) $f(x) = \ln(2\arctan(x) + 3\arcsin(x) + 5)$ (b) $r(z) = \arctan(\ln(\arcsin(z)))$ (c) $q(t) = \arctan^2(3t) \arcsin^4(7t)$ (d) $g(v) = \ln\left( \frac{\arctan(v)}{\arcsin(v) + v^2} \right)$

정답·풀이 보기

(a) 연쇄 법칙에 의해, $f'(x) = \frac{1}{2\arctan(x) + 3\arcsin(x) + 5} \cdot \frac{d}{dx}\left( 2\arctan(x) + 3\arcsin(x) + 5\right)\,,$ 이고, 합과 상수배의 미분법에 의해 다음을 얻는다. $f'(x) = \frac{1}{2\arctan(x) + 3\arcsin(x) + 5} \cdot \left(\frac{2}{1+x^2} + \frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\right)\,.$ (b) 가장 바깥쪽 함수에 연쇄 법칙을 적용하면, $r'(z) = \frac{1}{1+\left(\ln(\arcsin(z))\right)^2} \cdot \frac{d}{dz} \left( \ln(\arcsin(z)) \right)\,.$ $\frac{d}{dz} \left( \ln(\arcsin(z)) \right)$ 를 계산하기 위해 연쇄 법칙을 다시 적용하면, $r'(z) = \frac{1}{1+\left(\ln(\arcsin(z))\right)^2} \cdot \left( \frac{1}{\arcsin(z)} \right) \cdot \frac{d}{dz}\left(\arcsin(z)\right)\,.$ 마지막으로 $\frac{d}{dz}\left(\arcsin(z)\right)$ 의 기본 공식을 이용하면, $r'(z) = \frac{1}{1+\left(\ln(\arcsin(z))\right)^2} \cdot \left( \frac{1}{\arcsin(z)} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-z^2}}\,.$ (c) 먼저 곱의 미분법에 의해, $q'(t) = \arctan^2(3t) \cdot \frac{d}{dt}\left(\arcsin^4(7t)\right) + \arcsin^4(7t) \cdot \frac{d}{dt}\left(\arctan^2(3t)\right)\,.$ 다음으로 $\arcsin^4(7t) = \left(\arcsin(7t)\right)^4$ 이고 $\arctan^2(3t) = \left( \arctan(3t) \right)^2$ 임을 떠올려, 연쇄 법칙을 적용해 이 함수들 각각의 도함수를 구하면 다음과 같다. $q'(t) = \arctan^2(3t) \cdot \left[4\arcsin^3(7t) \frac{d}{dt}\left( \arcsin(7t) \right)\right] + \arcsin^4(7t) \cdot \left[2\arctan(3t) \frac{d}{dt}\left(\arctan(3t)\right) \right]\,.$ 마지막으로 남은 도함수를 계산하기 위해 연쇄 법칙을 한 번 더 적용하면, $q'(t) = \arctan^2(3t) \cdot \left[4\arcsin^3(7t) \left( \frac{7}{\sqrt{1-(7t)^2}} \right)\right] + \arcsin^4(7t) \cdot \left[2\arctan(3t) \left(\frac{3}{1+(3t)^2}\right) \right]\,.$ (d) 연쇄 법칙에 의해, $g'(v) = \frac{1}{ \frac{\arctan(v)}{\arcsin(v) + v^2} } \cdot \frac{d}{dv}\left[ \frac{\arctan(v)}{\arcsin(v) + v^2} \right]$ 따라서 몫의 미분법에 의해, $g'(v) = \frac{1}{\frac{\arctan(v)}{\arcsin(v) + v^2}} \cdot \frac{(\arcsin(v) + v^2) \cdot \frac{1}{1+v^2} - \arctan(v) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2}} + 2v \right)}{(\arcsin(v) + v^2)^2}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) By the chain rule, $f'(x) = \frac{1}{2\arctan(x) + 3\arcsin(x) + 5} \cdot \frac{d}{dx}\left( 2\arctan(x) + 3\arcsin(x) + 5\right)\,,$ and by the sum and constant multiple rules, it follows that $f'(x) = \frac{1}{2\arctan(x) + 3\arcsin(x) + 5} \cdot \left(\frac{2}{1+x^2} + \frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\right)\,.$ (b) By the chain rule applied to the outermost function, $r'(z) = \frac{1}{1+\left(\ln(\arcsin(z))\right)^2} \cdot \frac{d}{dz} \left( \ln(\arcsin(z)) \right)\,.$ Applying the chain rule again to evaluate $\frac{d}{dz} \left( \ln(\arcsin(z)) \right)$ , $r'(z) = \frac{1}{1+\left(\ln(\arcsin(z))\right)^2} \cdot \left( \frac{1}{\arcsin(z)} \right) \cdot \frac{d}{dz}\left(\arcsin(z)\right)\,.$ Finally, using the basic rule for $\frac{d}{dz}\left(\arcsin(z)\right)$ , $r'(z) = \frac{1}{1+\left(\ln(\arcsin(z))\right)^2} \cdot \left( \frac{1}{\arcsin(z)} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-z^2}}\,.$ (c) First, by the product rule, $q'(t) = \arctan^2(3t) \cdot \frac{d}{dt}\left(\arcsin^4(7t)\right) + \arcsin^4(7t) \cdot \frac{d}{dt}\left(\arctan^2(3t)\right)\,.$ Next, we recall that $\arcsin^4(7t) = \left(\arcsin(7t)\right)^4$ and $\arctan^2(3t) = \left( \arctan(3t) \right)^2$ , and apply the chain rule to find the derivative of each of these functions to get $q'(t) = \arctan^2(3t) \cdot \left[4\arcsin^3(7t) \frac{d}{dt}\left( \arcsin(7t) \right)\right] + \arcsin^4(7t) \cdot \left[2\arctan(3t) \frac{d}{dt}\left(\arctan(3t)\right) \right]\,.$ Finally, applying the chain rule one more time to evaluate the remaining derivatives, $q'(t) = \arctan^2(3t) \cdot \left[4\arcsin^3(7t) \left( \frac{7}{\sqrt{1-(7t)^2}} \right)\right] + \arcsin^4(7t) \cdot \left[2\arctan(3t) \left(\frac{3}{1+(3t)^2}\right) \right]\,.$ (d) By the chain rule, $g'(v) = \frac{1}{ \frac{\arctan(v)}{\arcsin(v) + v^2} } \cdot \frac{d}{dv}\left[ \frac{\arctan(v)}{\arcsin(v) + v^2} \right]$ Thus, by the quotient rule, $g'(v) = \frac{1}{\frac{\arctan(v)}{\arcsin(v) + v^2}} \cdot \frac{(\arcsin(v) + v^2) \cdot \frac{1}{1+v^2} - \arctan(v) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2}} + 2v \right)}{(\arcsin(v) + v^2)^2}$

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 2.7절 · 1번우리말 번역

참/거짓: 모든 함수는 역함수를 가진다.

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# 역함수의 미분법계산자동 분류