역함수의 미분법

(a) 연쇄 법칙에 의해, $$f'(x) = \frac{1}{2\arctan(x) + 3\arcsin(x) + 5} \cdot \frac{d}{dx}\left( 2\arctan(x) + 3\arcsin(x) + 5\right)\,,$$ 이고, 합과 상수배의 미분법에 의해 다음을 얻는다. $$f'(x) = \frac{1}{2\arctan(x) + 3\arcsin(x) + 5} \cdot \left(\frac{2}{1+x^2} + \frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\right)\,.$$ (b) 가장 바깥쪽 함수에 연쇄 법칙을 적용하면, $$r'(z) = \frac{1}{1+\left(\ln(\arcsin(z))\right)^2} \cdot \frac{d}{dz} \left( \ln(\arcsin(z)) \right)\,.$$ $\frac{d}{dz} \left( \ln(\arcsin(z)) \right)$ 를 계산하기 위해 연쇄 법칙을 다시 적용하면, $$r'(z) = \frac{1}{1+\left(\ln(\arcsin(z))\right)^2} \cdot \left( \frac{1}{\arcsin(z)} \right) \cdot \frac{d}{dz}\left(\arcsin(z)\right)\,.$$ 마지막으로 $\frac{d}{dz}\left(\arcsin(z)\right)$ 의 기본 공식을 이용하면, $$r'(z) = \frac{1}{1+\left(\ln(\arcsin(z))\right)^2} \cdot \left( \frac{1}{\arcsin(z)} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-z^2}}\,.$$ (c) 먼저 곱의 미분법에 의해, $$q'(t) = \arctan^2(3t) \cdot \frac{d}{dt}\left(\arcsin^4(7t)\right) + \arcsin^4(7t) \cdot \frac{d}{dt}\left(\arctan^2(3t)\right)\,.$$ 다음으로 $\arcsin^4(7t) = \left(\arcsin(7t)\right)^4$ 이고 $\arctan^2(3t) = \left( \arctan(3t) \right)^2$ 임을 떠올려, 연쇄 법칙을 적용해 이 함수들 각각의 도함수를 구하면 다음과 같다. $$q'(t) = \arctan^2(3t) \cdot \left[4\arcsin^3(7t) \frac{d}{dt}\left( \arcsin(7t) \right)\right] + \arcsin^4(7t) \cdot \left[2\arctan(3t) \frac{d}{dt}\left(\arctan(3t)\right) \right]\,.$$ 마지막으로 남은 도함수를 계산하기 위해 연쇄 법칙을 한 번 더 적용하면, $$q'(t) = \arctan^2(3t) \cdot \left[4\arcsin^3(7t) \left( \frac{7}{\sqrt{1-(7t)^2}} \right)\right] + \arcsin^4(7t) \cdot \left[2\arctan(3t) \left(\frac{3}{1+(3t)^2}\right) \right]\,.$$ (d) 연쇄 법칙에 의해, $$g'(v) = \frac{1}{ \frac{\arctan(v)}{\arcsin(v) + v^2} } \cdot \frac{d}{dv}\left[ \frac{\arctan(v)}{\arcsin(v) + v^2} \right]$$ 따라서 몫의 미분법에 의해, $$g'(v) = \frac{1}{\frac{\arctan(v)}{\arcsin(v) + v^2}} \cdot \frac{(\arcsin(v) + v^2) \cdot \frac{1}{1+v^2} - \arctan(v) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2}} + 2v \right)}{(\arcsin(v) + v^2)^2}$$