역함수의 미분법 연습문제 — Active Calculus · 2.6절 · 10번

Active Calculus · 2.6절 · 10번우리말 번역

$h(x) = x + \sin(x)$ 라 하자.

(a) $y = h(x)$ 의 그래프를 그리고, $h$ 가 왜 역함수를 가져야 하는지 설명하세요. (b) $h^{-1}$ 의 식을 대수적으로 구하는 것이 왜 가능해 보이지 않는지 설명하세요. (c) 점 $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} + 1)$ 이 $y = h(x)$ 의 그래프 위에 있음을 확인하세요. $(h^{-1})'(\frac{\pi}{2} + 1)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $h(x) = x + \sin(x)$ .

(a) Sketch a graph of $y = h(x)$ and explain why $h$ must be invertible. (b) Explain why it does not appear to be algebraically possible to determine a formula for $h^{-1}$ . (c) Observe that the point $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} + 1)$ lies on the graph of $y = h(x)$ . Determine the value of $(h^{-1})'(\frac{\pi}{2} + 1)$ .

정답·풀이 보기

(a) 함수 $h$ 는 그래프가 수평선 판정법을 통과하므로 역함수를 가진다. (b) 방정식 $y = x + \sin(x)$ 를 $x$ 에 대하여 $y$ 로 나타내어 푸는 것은 가능해 보이지 않는다. (c) 역함수의 미분법에 의해 $(h^{-1})'(\frac{\pi}{2} + 1) = \frac{1}{h'\left(\frac{\pi}{2} \right)}$ 이다. 따라서 먼저 $h'(x)$ 를 구하면 $h'(x) = 1 + \cos(x)$ 이다. $h'\left(\frac{\pi}{2} \right) = 1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} \right) = 1$ 이므로 $(h^{-1})'(\frac{\pi}{2} + 1) = \frac{1}{1} = 1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The function $h$ is invertible because its graph passes the horizontal line test. (b) It does not seem possible to solve the equation $y = x + \sin(x)$ for $x$ in terms of $y$ . (c) By the rule for the derivative of an invertible function, we have $(h^{-1})'(\frac{\pi}{2} + 1) = \frac{1}{h'\left(\frac{\pi}{2} \right)}$ . Thus, we first compute $h'(x)$ and find that $h'(x) = 1 + \cos(x)$ . Since $h'\left(\frac{\pi}{2} \right) = 1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} \right) = 1$ , it follows that $(h^{-1})'(\frac{\pi}{2} + 1) = \frac{1}{1} = 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 2.6절 · 9번우리말 번역

$f(x) = \frac{1}{4}x^3 + 4$ 라 하자.

(a) $y = f(x)$ 의 그래프를 그리고, $f$ 가 역함수를 가지는 함수인 이유를 설명하세요. (b) $g$ 를 $f$ 의 역함수라 하고, $g$ 의 식을 구하세요. (c) $f'(x)$ , $g'(x)$ , $f'(2)$ , $g'(6)$ 의 값을 구하세요. $f'(2)$ 와 $g'(6)$ 사이에는 어떤 특별한 관계가 있습니까? 그 이유는 무엇입니까?

다 풀었으면 정답 확인

(a) $f$ 의 그래프가 수평선 판정법을 통과하므로 $f$ 는 역함수를 가지는 함수이다. (b) $g = f^{-1}$ 의 식을 구하기 위해 방정식 $y = \frac{1}{4}x^3 + 4$ 를 $y$ 에 대한 $x$ 의 식으로 푼다. 그러면 $y - 4 = \frac{1}{4}x^3$ 이므로 $x^3 = 4(y-4)$ 이고, 따라서 $x = \sqrt[3]{4(y-4)} = f^{-1}(y)\,.$ 역함수를 $x$ 에 대한 함수로 나타내면 $f^{-1}(x) = g(x) = \sqrt[3]{4x-16}$ 임을 알 수 있다. (c) 먼저 $f'(x) = \frac{3}{4}x^2$ 이므로 $f'(2) = 3$ 이다. 다음으로 $g'(x) = \frac{1}{3}(4x-16)^{-2/3} \cdot 4$ 이므로 $g'(6) = \frac{1}{3} \cdot 8^{-2/3} \cdot 4 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot 4 = \frac{1}{3}$ 이다. 이 두 미분계수의 특별한 점은 서로 역수라는 것이다. $f(2) = 3$ 이고 $g(3) = 2$ 임에 주목하면, 역함수의 미분법에 의해 $g'(3) = \frac{1}{f'(2)}$ 임을 알 수 있고, 이는 위에서 구한 $g'(3) = \frac{1}{3}$ 과 일치한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 역함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류