음함수의 미분법 연습문제 — Active Calculus · 2.7절 · 14번

Active Calculus · 2.7절 · 14번우리말 번역

음함수 미분을 이용하면 $\frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x}$ 이라고 가정할 때 공식 $\frac{d}{dx} [a^x] = a^x \ln(a)$ 이 성립하는 이유를 다른 관점에서 볼 수 있습니다. 이 문제는 그 핵심 단계를 차례로 안내합니다.

(a) $y = a^x$ 라고 하세요. 이 등식을 자연로그 함수를 사용하여 $x$ 를 $y$ (와 상수 $a$ )로 나타내는 식으로 다시 쓰세요. (b) (a)에서 구한 등식의 양변을 $x$ 에 대해 미분하세요. 이때 $y$ 는 음함수적으로 $x$ 의 함수임에 유의하세요. (c) (b)에서 구한 등식을 $\frac{dy}{dx}$ 에 대해 푼 다음, $y$ 의 정의를 이용하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 오직 $x$ 로만 나타내세요. 무엇을 알게 되었나요?

영어 원문 보기

Implicit differentiation enables us a different perspective from which to see why the rule $\frac{d}{dx} [a^x] = a^x \ln(a)$ holds, if we assume that $\frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x}$ . This exercise leads you through the key steps to do so.

(a) Let $y = a^x$ . Rewrite this equation using the natural logarithm function to write $x$ in terms of $y$ (and the constant $a$ ). (b) Differentiate both sides of the equation you found in (a) with respect to $x$ , keeping in mind that $y$ is implicitly a function of $x$ . (c) Solve the equation you found in (b) for $\frac{dy}{dx}$ , and then use the definition of $y$ to write $\frac{dy}{dx}$ solely in terms of $x$ . What have you found?

정답·풀이 보기

(a) 양변에 자연로그를 취하면 $\ln(y) = \ln(a^x) = x \ln(a)$ 이다. 따라서 $x = \frac{\ln(y)}{\ln(a)}\,.$ (b) $\ln(a)$ 는 $x$ 에 대해 상수이므로 $x = \frac{1}{\ln(a)} \cdot \ln(y)$ 로도 쓸 수 있다. $y$ 를 $x$ 의 함수로 보고 (그리고 $\ln(a)$ 가 상수임을 다시 한번 유의하여) 양변을 $x$ 에 대해 미분하면 $1 = \frac{1}{\ln(a)} \cdot \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}\,.$ (c) $\frac{dy}{dx}$ 에 대해 풀면 $\frac{dy}{dx} = y \ln(a)$ 이다. 그런데 처음에 $y = a^x$ 이었으므로 $\frac{dy}{dx} = a^x \ln(a)$ 이고, 이는 $\frac{d}{dx}[a^x] = a^x \ln(a)$ 임을 보여 준다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Taking the natural log of both sides, $\ln(y) = \ln(a^x) = x \ln(a)$ . Thus, it follows that $x = \frac{\ln(y)}{\ln(a)}\,.$ (b) Remembering that $\ln(a)$ is constant with respect to $x$ , we can also write $x = \frac{1}{\ln(a)} \cdot \ln(y)$ . Differentiating both sides with respect to $x$ while treating $y$ as a function of $x$ (and again remembering that $\ln(a)$ is constant), we have $1 = \frac{1}{\ln(a)} \cdot \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}\,.$ (c) Solving for $\frac{dy}{dx}$ , we see that $\frac{dy}{dx} = y \ln(a)$ . But recall from the outset that $y = a^x$ , and thus $\frac{dy}{dx} = a^x \ln(a)$ which shows that $\frac{d}{dx}[a^x] = a^x \ln(a)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 2.7절 · 13번우리말 번역

방정식 $\sin(x+y) + \cos(x-y) = 1$ 로 주어진 곡선에 대하여, 점 $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 에서 곡선에 그은 접선의 방정식을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

먼저 곡선에 접하는 직선의 기울기, 즉 $\frac{dy}{dx}$ 를 구해야 한다. 이를 위해 $y$ 를 $x$ 의 함수로 보고 방정식의 양변을 $x$ 에 대해 미분하면 다음을 얻는다.

$\begin{aligned}\frac{d}{dx} \left( \sin(x+y) + \cos(x-y) \right) &= \frac{d}{dx}(1) \\ \cos(x+y) \left(1+\frac{dy}{dx}\right) - \sin(x-y)\left(1-\frac{dy}{dx}\right) &= 0\end{aligned}\,.$ 좌변을 전개하면

$\cos(x+y) + \cos(x+y)\frac{dy}{dx} - \sin(x-y) + \sin(x-y)\frac{dy}{dx} = 0\,.$ 오른쪽 두 항에서 $\frac{dy}{dx}$ 를 공통인수로 묶어 내고 나머지 두 항을 우변으로 이항하면

$\frac{dy}{dx} \left(\cos(x+y) + \sin(x-y) \right) = \sin(x-y) - \cos(x+y)\,.$ 따라서

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin(x-y) - \cos(x+y)}{\cos(x+y) + \sin(x-y)}\,.$ 점 $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 에서

$\frac{dy}{dx}\biggm|_{\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)} = \frac{\sin(0)-\cos(\pi)}{\cos(\pi) + \sin(0)} = -1\,$ 이다. 따라서 점 $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 에서 곡선에 그은 접선의 방정식은 $y = \frac{\pi}{2} - \left(x-\frac{\pi}{2}\right)$ 이다. $\sin(x+y) + \cos(x-y) = 1$ 로 정의된 곡선의 일부와 점 $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 에서의 접선이 다음 그림에 나타나 있다.

이 그림에 대체 텍스트를 추가하세요.

이 문제로 이어서 풀기

# 음함수의 미분법계산자동 분류