관련 변화율 연습문제 — Active Calculus · 3.1절 · 9번

Active Calculus · 3.1절 · 9번우리말 번역

돛단배 한 척이 부두 근처에 정지해 있다. 배의 뱃머리에 매단 밧줄이 도르래를 거쳐 끌어당겨지는데, 이 도르래는 부두 끝에 세워진 기둥 위에 있으며 뱃머리보다 5피트 더 높다. 밧줄을 초당 2피트의 비율로 끌어당길 때, 뱃머리에서 도르래까지의 밧줄 길이가 13피트인 순간에 배는 얼마나 빠르게 부두에 가까워지고 있는지 구하세요.

영어 원문 보기

A sailboat is sitting at rest near its dock. A rope attached to the bow of the boat is drawn in over a pulley that stands on a post on the end of the dock that is 5 feet higher than the bow. If the rope is being pulled in at a rate of 2 feet per second, how fast is the boat approaching the dock when the length of rope from bow to pulley is 13 feet?

정답·풀이 보기

주어진 정보를 이용하여 아래와 같은 그림을 그린다.

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그림과 같이 도르래에서 배의 뱃머리 높이까지의 수직 높이는 $5$ 이고, 도르래에서 뱃머리까지의 밧줄 길이를 $z$ , 부두에서 뱃머리까지의 수평 거리를 $x$ 라 하자.

밧줄을 초당 $2$ 피트의 비율로 끌어당기므로 $\frac{dz}{dt} = -2$ 피트/초이다. 뱃머리에서 도르래까지의 밧줄 길이가 13피트일 때 배가 얼마나 빠르게 부두에 가까워지는지 알고 싶으므로 $\left. \frac{dx}{dt} \right|_{z=13}$ 을 구해야 한다. 따라서 변하는 두 양 $z$ 와 $x$ 사이의 관계를 세워야 한다.

밧줄, (수직으로 연장한) 기둥, 그리고 뱃머리에서 기둥까지의 수평 거리는 언제나 직각삼각형을 이루므로

$x^2 + 5^2 = z^2\,.$ 이제 $z$ 와 $x$ 의 관계를 얻었으므로 이 등식의 양변을 $t$ 에 대해 미분한다. 연쇄 법칙에 의해

$2x \frac{dx}{dt} = 2z \frac{dz}{dt}\,.$ $z = 13$ 인 순간에는 $x^2 + 5^2 = 13^2$ 이므로 $x = 12$ 이다. $z = 13$ 인 순간의 주어진 정보를 모두 이용하면 ( $\frac{dz}{dt} = -2$ 포함),

$2(12) \left. \frac{dx}{dt} \right|_{z = 13} = 2(13)(-2)\,.$ $\left. \frac{dx}{dt} \right|_{z = 13}$ 에 대해 풀면

$\left. \frac{dx}{dt} \right|_{z = 13} = -\frac{13}{6}$

피트/초이다. 따라서 배는 초당 $\frac{13}{6} \approx 2.167$ 피트의 비율로 부두에 가까워지고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Using the given information, we construct the figure shown below.

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As pictured, we know that $5$ is the vertical height from the pulley to the level of the bow of the boat, and we let $z$ be the length of the rope from the pulley to the bow of the boat, and $x$ the horizontal distance from the dock to the bow of the boat.

We are given that the rope is being pulled in at $2$ feet per second, and thus $\frac{dz}{dt} = -2$ feet per second. Because we want to know how fast the boat is approaching the dock when the length of rope from bow to pulley is 13 feet, we want to know $\left. \frac{dx}{dt} \right|_{z=13}$ . Thus, we need to relate the changing quantities $z$ and $x$ .

Because the rope, the post (vertically extended), and the horizontal distance from the bow of the boat to the post on the dock form a right triangle at all times, it follows that

$x^2 + 5^2 = z^2\,.$ Having now related $z$ and $x$ , we differentiate this equation with respect to $t$ . By the chain rule, we now see that

$2x \frac{dx}{dt} = 2z \frac{dz}{dt}\,.$ At the instant $z = 13$ , $x^2 + 5^2 = 13^2$ , and thus $x = 12$ . Using all of the given information at the instant $z = 13$ (including that $\frac{dz}{dt} = -2$ ),

$2(12) \left. \frac{dx}{dt} \right|_{z = 13} = 2(13)(-2)\,.$ Solving for $\left. \frac{dx}{dt} \right|_{z = 13}$ ,

$\left. \frac{dx}{dt} \right|_{z = 13} = -\frac{13}{6}$

feet per second. Thus the boat is approaching the dock at a rate of $\frac{13}{6} \approx 2.167$ feet per second.

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 3.1절 · 11번우리말 번역

야구장의 다이아몬드는 한 변의 길이가 $90$ 피트인 정사각형이다. 한 야구 선수가 2루에서 3루로 초당 $24$ 피트의 속력으로 진루하고 있고, 심판이 홈 플레이트 위에 서 있다고 하자. $\theta$ 를 3루선과 심판에서 주자를 향한 시선이 이루는 각이라고 하자. 주자가 3루에서 $30$ 피트 떨어져 있을 때, $\theta$ 는 얼마나 빠르게 변하는지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$x$ 를 2루에서 3루로 가는 경로에서 주자와 3루 사이의 거리, $z$ 를 홈 플레이트에 있는 심판에서 주자까지의 거리라 하고, $\theta$ 를 3루선과 심판에서 주자를 향한 시선이 이루는 각이라 하자. 아래 그림을 보자.

이 그림에 대체 텍스트를 추가하세요.

$x$ , $z$ , $\theta$ 는 각각 암묵적으로 $t$ 의 함수이다. 주자가 초당 $24$ 피트의 속력으로 진루하고 있으므로 $\frac{dx}{dt} = -24$ 이다. 구하려는 것이 $\left. \frac{d\theta}{dt} \right|_{x = 30}$ 이므로 $x$ 와 $\theta$ 사이의 관계를 찾아야 한다.

먼저 정의에 의해

$\tan(\theta) = \frac{x}{90} = \frac{1}{90}x\,.$ 이다. $x$ 와 $\theta$ 의 관계를 구했으므로, 위 등식의 양변을 $t$ 에 대해 미분할 수 있다. 연쇄 법칙에 의해

$\sec^2 (\theta) \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{90} \frac{dx}{dt}\,,$ 이고, 따라서

$\frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{90 \sec^2 (\theta)} \frac{dx}{dt}$

이다.

$x = 30$ 인 순간에는 $x^2 + 90^2 = z^2$ 이므로 $z = \sqrt{90^2 + 30^2} = \sqrt{9000} = 30\sqrt{10}$ 이다. 따라서 같은 순간에 $\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)} = \frac{30\sqrt{10}}{90} = \frac{\sqrt{10}}{3}$ 이다. 또한 $\frac{dx}{dt} = -24$ 임을 기억하자. 이 정보를 $x$ 와 $\theta$ 의 변화율을 연결하는 식에 적용하면

$\left. \frac{d\theta}{dt} \right|_{x = 30} = \frac{1}{90 \left( \frac{\sqrt{10}}{3} \right)^2} (-24) = -\frac{1}{100}(24) = -0.24$

라디안/초이다.

이 문제로 이어서 풀기

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