관련 변화율 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 4.1절 · 21번우리말 풀이

구의 반지름이 초당 9 cm 의 비율로 늘어나고 있어요. 구의 부피와 반지름이 늘어나는 비율의 수치가 같아지는 순간의 구의 반지름을 구하세요.

영어 원문 보기

The radius of a sphere is increasing at a rate of 9 cm/sec. Find the radius of the sphere when the volume and the radius of the sphere are increasing at the same numerical rate.

답 쓰고 채점

cm

풀이 보기

부피 공식 $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ 을 시간 $t$ 로 미분하면 두 변화율 사이의 관계가 나와요.

1
왜 이렇게 할까요? 반지름이 변하면 부피도 따라 변해요. 둘을 이어 주는 식은 구의 부피 공식이에요. $V=\frac{4}{3}\pi r^3$
2
양변을 시간 $t$ 로 미분해요. $r$ 은 $t$ 의 함수이므로 연쇄법칙을 써요. $\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$
3
주어진 값을 넣어요. $\frac{dr}{dt}=9$ 이므로 $\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\cdot 9=36\pi r^2$
4
두 변화율의 수치가 같다는 조건을 써요. $\frac{dV}{dt}=\frac{dr}{dt}=9$ 이므로 $36\pi r^2=9 \;\Longrightarrow\; r^2=\frac{1}{4\pi}$
5
반지름은 양수이므로 $r=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\ \text{cm}$

답

$\dfrac{1}{2\sqrt{\pi}}$ cm

자주 하는 실수

미분하기 전에 $r=9$ 를 넣어 버려요. 변하는 양은 미분한 뒤에 값을 넣어야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{2\sqrt{\pi }}$ cm

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 41번

# 관련 변화율활용보통

2.OpenStax 1권 · 4.1절 · 41번우리말 풀이

버스 정류장이 있는 직각 모퉁이로 걸어가고 있어요. 당신은 초속 2 m 로 북쪽으로 움직이고 있고, 교차로에서 남쪽으로 20 m 떨어져 있어요. 버스는 교차로에서 멀어지며 초속 10 m 로 서쪽으로 가요. 버스를 놓쳤어요! 당신이 교차로에서 남쪽으로 20 m 에 있고 버스가 교차로에서 서쪽으로 10 m 에 있을 때, 당신과 버스 사이의 각이 변하는 비율은 얼마인가요?

영어 원문 보기

You are walking to a bus stop at a right-angle corner. You move north at a rate of 2 m/sec and are 20 m south of the intersection. The bus travels west at a rate of 10 m/sec away from the intersection – you have missed the bus! What is the rate at which the angle between you and the bus is changing when you are 20 m south of the intersection and the bus is 10 m west of the intersection?

풀이 보기

교차로·나·버스로 직각삼각형을 만들고, $\tan\theta=\frac{x}{y}$ 를 시간으로 미분해요.

1
왜 이렇게 할까요? 거리가 시간에 따라 변하니 각도 변해요. 상황을 직각삼각형으로 그리면 각과 길이의 관계식을 세울 수 있어요. 교차로에서 버스까지의 거리를 $x$ , 교차로에서 나까지의 거리를 $y$ 라 하고, 내 위치에서 교차로 쪽 방향과 버스 쪽 방향이 이루는 각을 $\theta$ 라 해요.
2
변하는 비율을 정리해요. 버스는 멀어지므로 $\frac{dx}{dt}=10$ , 나는 교차로에 다가가므로 $y$ 가 줄어서 $\frac{dy}{dt}=-2$ 예요.
3
관계식을 세워요. 직각삼각형에서 $\tan\theta=\frac{x}{y}$
4
양변을 $t$ 로 미분해요. 몫의 미분법을 쓰면 $\sec^2\theta\,\frac{d\theta}{dt}=\frac{x'y-xy'}{y^2}$ 이에요. $x=10,\ y=20,\ x'=10,\ y'=-2$ 를 넣으면 우변은 $\frac{10\cdot20-10\cdot(-2)}{400}=\frac{220}{400}=\frac{11}{20}$ 이에요.
5
$\sec^2\theta$ 의 값을 구해요. $\tan\theta=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$ 이므로 $\sec^2\theta=1+\tan^2\theta=1+\frac14=\frac54$
6
$\frac{d\theta}{dt}$ 를 구해요. $\frac{5}{4}\frac{d\theta}{dt}=\frac{11}{20}\;\Longrightarrow\;\frac{d\theta}{dt}=\frac{11}{20}\cdot\frac45=\frac{11}{25}$ 각은 초당 $\frac{11}{25}$ 라디안의 비율로 커져요.

답

$\dfrac{11}{25}$ rad/초

자주 하는 실수

$y$ 는 줄어드는 양인데 $\frac{dy}{dt}$ 의 부호를 $+2$ 로 써서 계산이 틀어져요.

원본 교재 풀이(영어)

The angle is changing at a rate of $\frac{11}{25}\,\text{rad/sec}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 17번

# 관련 변화율활용도전

3.OpenStax 1권 · 4.1절 · 1번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 방정식에 대한 값을 구하세요.

$\frac{dx}{dt}=4$ 일 때, $x=1$ 과 $y={x}^{2}+3$ 에서 $\frac{dy}{dt}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, find the quantities for the given equation.

Find $\frac{dy}{dt}$ at $x=1$ and $y={x}^{2}+3$ if $\frac{dx}{dt}=4.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$8$

원본 교재 풀이(영어)

$8$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 3번

# 관련 변화율계산자동 분류

4.OpenStax 1권 · 4.1절 · 2번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 식에 대해 해당하는 값을 구하세요.

$\frac{dy}{dt}=-1$ 일 때, $x=-2$ 이고 $y=2{x}^{2}+1$ 에서 $\frac{dx}{dt}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, find the quantities for the given equation.

Find $\frac{dx}{dt}$ at $x=-2$ and $y=2{x}^{2}+1$ if $\frac{dy}{dt}=-1.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.2절 · 2번

# 관련 변화율계산자동 분류

5.OpenStax 1권 · 4.1절 · 3번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 식에 대해 해당하는 값을 구하세요.

$\frac{dx}{dt}=4$ 이고 $\frac{dy}{dt}=3$ 일 때, $(x,y)=(1,3)$ 이고 ${z}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}$ 에서 $\frac{dz}{dt}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, find the quantities for the given equation.

Find $\frac{dz}{dt}$ at $(x,y)=(1,3)$ and ${z}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}$ if $\frac{dx}{dt}=4$ and $\frac{dy}{dt}=3.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\pm \frac{13}{\sqrt{10}}$

원본 교재 풀이(영어)

$\pm \frac{13}{\sqrt{10}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 43번

# 관련 변화율계산자동 분류

6.OpenStax 1권 · 4.1절 · 4번우리말 번역

[계산기 사용] 두 전기 저항을 병렬로 연결하면, 전체 저항(단위는 옴이며, 그리스 문자 대문자 오메가 $\Omega )$ 로 나타냄)은 등식 $\frac{1}{R}=\frac{1}{{R}_{1}}+\frac{1}{{R}_{2}}$ 으로 주어집니다. ${R}_{1}$ 이 $0.5\,\Omega /\min$ 의 변화율로 증가하고 ${R}_{2}$ 가 $1.1\text{Ω/min}$ 의 비율로 감소할 때, ${R}_{1}=20\Omega$ 이고 ${R}_{2}=50\Omega$ 인 순간 전체 저항은 어떤 비율로 변하는지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] If two electrical resistors are connected in parallel, the total resistance (measured in ohms, denoted by the Greek capital letter omega, $\Omega )$ is given by the equation $\frac{1}{R}=\frac{1}{{R}_{1}}+\frac{1}{{R}_{2}}.$ If ${R}_{1}$ is increasing at a rate of $0.5\,\Omega /\min$ and ${R}_{2}$ decreases at a rate of $1.1\text{Ω/min},$ at what rate does the total resistance change when ${R}_{1}=20\Omega$ and ${R}_{2}=50\Omega$ ?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 3.1절 · 11번

# 관련 변화율계산자동 분류

7.OpenStax 1권 · 4.1절 · 5번우리말 번역

길이가 10 ft인 사다리가 벽에 기대어 있습니다. 사다리의 윗부분이 벽을 따라 2 ft/sec의 속도로 미끄러져 내려갈 때, 사다리의 아랫부분이 벽에서 5 ft 떨어져 있는 순간 아랫부분은 땅을 따라 얼마나 빠르게 움직이는지 구하세요.

사다리가 벽돌 벽에 기대어 있어 직각삼각형을 이룬다. 사다리는 빗변이며 길이는 10 ft이다.

영어 원문 보기

A 10-ft ladder is leaning against a wall. If the top of the ladder slides down the wall at a rate of 2 ft/sec, how fast is the bottom moving along the ground when the bottom of the ladder is 5 ft from the wall?

A right triangle is formed by a ladder leaning up against a brick wall. The ladder forms the hypotenuse and is 10 ft long.

정답·풀이 보기

$2\sqrt{3}$ ft/sec

원본 교재 풀이(영어)

$2\sqrt{3}$ ft/sec

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 7번

# 관련 변화율그래프·표 해석자동 분류

8.OpenStax 1권 · 4.1절 · 6번우리말 번역

길이가 25 ft인 사다리가 벽에 기대어 있습니다. 사다리를 벽 쪽으로 1 ft/sec의 속도로 밀고, 처음에 사다리의 아랫부분이 벽에서 $20\,\text{ft}$ 떨어져 있었다면, 밀기 시작한 지 $5\,\sec$ 후에 사다리는 벽을 따라 얼마나 빠르게 올라가는지 구하세요.

영어 원문 보기

A 25-ft ladder is leaning against a wall. If we push the ladder toward the wall at a rate of 1 ft/sec, and the bottom of the ladder is initially $20\,\text{ft}$ away from the wall, how fast does the ladder move up the wall $5\,\sec$ after we start pushing?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 27번

# 관련 변화율활용자동 분류

9.OpenStax 1권 · 4.1절 · 7번우리말 번역

비행기 두 대가 같은 높이의 하늘을 날고 있다. 비행기 A 는 동쪽으로 250 mi/h 의 속력으로, 비행기 B 는 북쪽으로 $300\,\text{mi/h}$ 의 속력으로 날고 있다. 두 비행기가 모두 같은 공항으로 향하고 있고, 그 공항이 비행기 A 에서 동쪽으로 30마일, 비행기 B 에서 북쪽으로 40마일 떨어져 있을 때, 두 비행기 사이의 거리는 어떤 비율로 변하는지 구하세요.

서로 수직인 방향으로 움직이는 두 비행기 A와 B로 직각삼각형이 만들어진다. 빗변은 비행기 A와 B 사이의 거리이다. 나머지 두 변은 각 비행기의 경로를 서로 만날 때까지 연장한 것이다.

영어 원문 보기

Two airplanes are flying in the air at the same height: airplane A is flying east at 250 mi/h and airplane B is flying north at $300\,\text{mi/h}.$ If they are both heading to the same airport, located 30 miles east of airplane A and 40 miles north of airplane B, at what rate is the distance between the airplanes changing?

A right triangle is formed by two airplanes A and B moving perpendicularly to each other. The hypotenuse is the distance between planes A and B. The other sides are extensions of each plane’s path until they meet.

정답·풀이 보기

거리는 $390\,\text{mi/h}$ 의 비율로 감소하고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The distance is decreasing at $390\,\text{mi/h}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 9번

# 관련 변화율그래프·표 해석자동 분류

10.OpenStax 1권 · 4.1절 · 8번우리말 번역

당신과 친구가 자전거를 타고 식당으로 가고 있다. 당신은 식당이 동쪽에 있다고 생각하고, 친구는 북쪽에 있다고 생각한다. 두 사람은 같은 지점에서 출발하여, 당신은 동쪽으로 16 mph 의 속력으로, 친구는 북쪽으로 $12\,\text{mph}$ 의 속력으로 달린다. 당신이 $4\,\text{mi,}$ 를 이동했을 때, 두 사람 사이의 거리는 어떤 비율로 변하는지 구하세요.

영어 원문 보기

You and a friend are riding your bikes to a restaurant that you think is east; your friend thinks the restaurant is north. You both leave from the same point, with you riding at 16 mph east and your friend riding $12\,\text{mph}$ north. After you traveled $4\,\text{mi,}$ at what rate is the distance between you changing?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.2절 · 24번

# 관련 변화율계산자동 분류

11.OpenStax 1권 · 4.1절 · 9번우리말 번역

버스 두 대가 $5\,\text{mi}$ 떨어진 평행한 고속도로를 따라 달리고 있는데, 한 대는 동쪽으로, 다른 한 대는 서쪽으로 향하고 있다. 각 버스가 일정한 속력 $55\,\text{mph,}$ 로 달린다고 할 때, 두 버스가 서로를 향해 가며 $13\,\text{mi}$ 떨어져 있는 순간에 두 버스 사이의 거리가 변하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

Two buses are driving along parallel freeways that are $5\,\text{mi}$ apart, one heading east and the other heading west. Assuming that each bus drives a constant $55\,\text{mph,}$ find the rate at which the distance between the buses is changing when they are $13\,\text{mi}$ apart, heading toward each other.

정답·풀이 보기

두 버스 사이의 거리는 $\frac{1320}{13}\approx 101.5\,\text{mph}$ 의 비율로 줄어든다.

원본 교재 풀이(영어)

The distance between them shrinks at a rate of $\frac{1320}{13}\approx 101.5\,\text{mph}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 21번

# 관련 변화율활용자동 분류

12.OpenStax 1권 · 4.1절 · 10번우리말 번역

키가 6-ft인 사람이 높이 10-ft인 가로등에서 일정한 속력 $3\,\text{ft/sec}$ 로 멀어지고 있다. 이 사람이 가로등 기둥에서 $10\,\text{ft}$ 떨어져 있을 때, 그림자 끝이 기둥에서 멀어지는 비율은 얼마인지 구하세요.

높이가 10 ft인 가로등이 그려져 있다. 그 오른쪽에 키가 6 ft인 사람이 서 있다. 가로등 꼭대기에서 출발한 선이 사람의 머리 꼭대기를 스치고 지나 땅까지 이어진다. 가로등 기둥이 땅에 닿는 지점에서 이 선의 끝까지의 길이는 10 + x이다. 가로등에서 땅 위의 사람까지의 거리는 10이고, 사람에서 선의 끝까지의 거리는 x이다.

영어 원문 보기

A 6-ft-tall person walks away from a 10-ft lamppost at a constant rate of $3\,\text{ft/sec}.$ What is the rate that the tip of the shadow moves away from the pole when the person is $10\,\text{ft}$ away from the pole?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.2절 · 11번

# 관련 변화율그래프·표 해석자동 분류

13.OpenStax 1권 · 4.1절 · 11번우리말 번역

앞의 문제를 이용하여, 사람이 기둥에서 10 ft 떨어져 있을 때 그림자 끝이 사람에게서 멀어지는 속력(또는 변화율)은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

Using the previous problem, what is the rate at which the tip of the shadow moves away from the person when the person is 10 ft from the pole?

정답·풀이 보기

$\frac{9}{2}$ ft/sec

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{9}{2}$ ft/sec

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.2절 · 3번

# 관련 변화율활용자동 분류

14.OpenStax 1권 · 4.1절 · 12번우리말 번역

키가 5 ft인 사람이 2 ft/sec의 속력으로 벽을 향해 걸어가고 있다. 벽에서 40 ft 떨어진 지면에 스포트라이트가 놓여 있다. 이 사람이 벽에서 10 ft 떨어져 있을 때, 벽에 생기는 사람 그림자의 높이는 얼마나 빠르게 변하는지 구하세요.

영어 원문 보기

A 5-ft-tall person walks toward a wall at a rate of 2 ft/sec. A spotlight is located on the ground 40 ft from the wall. How fast does the height of the person’s shadow on the wall change when the person is 10 ft from the wall?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 35번

# 관련 변화율계산자동 분류

15.OpenStax 1권 · 4.1절 · 13번우리말 번역

앞의 문제를 이용하여, 사람이 2 ft/sec의 속력으로 벽에서 멀어지고 있을 때, 벽에서 10 ft 떨어진 순간 그림자가 변하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

Using the previous problem, what is the rate at which the shadow changes when the person is 10 ft from the wall, if the person is walking away from the wall at a rate of 2 ft/sec?

정답·풀이 보기

$\frac{4}{9}$ ft/sec의 비율로 커진다.

원본 교재 풀이(영어)

It grows at a rate $\frac{4}{9}$ ft/sec

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 39번

# 관련 변화율활용자동 분류

16.OpenStax 1권 · 4.1절 · 14번우리말 번역

지면에서 출발한 헬리콥터가 25 ft/sec의 속력으로 곧장 위로 올라가고 있다. 당신은 헬리콥터 바로 아래에서 출발하여 지면을 10 ft/sec의 속력으로 달리고 있다. 5초 후 헬리콥터와 당신 사이의 거리의 변화율을 구하세요.

영어 원문 보기

A helicopter starting on the ground is rising directly into the air at a rate of 25 ft/sec. You are running on the ground starting directly under the helicopter at a rate of 10 ft/sec. Find the rate of change of the distance between the helicopter and yourself after 5 sec.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 29번

# 관련 변화율계산자동 분류

17.OpenStax 1권 · 4.1절 · 15번우리말 번역

앞의 문제를 이용하여, 처음에 헬리콥터가 당신의 30 ft 위에 있었다고 할 때, 헬리콥터가 지상 60 ft 높이까지 올라간 순간 당신과 헬리콥터 사이의 거리가 변하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

Using the previous problem, what is the rate at which the distance between you and the helicopter is changing when the helicopter has risen to a height of 60 ft in the air, assuming that, initially, it was 30 ft above you?

정답·풀이 보기

거리는 $\frac{\left(135\sqrt{26}\right)}{26}$ ft/sec의 비율로 증가하고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The distance is increasing at $\frac{\left(135\sqrt{26}\right)}{26}$ ft/sec

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 25번

# 관련 변화율활용자동 분류

18.OpenStax 1권 · 4.1절 · 16번우리말 번역

정육면체의 한 모서리의 길이가 $\frac{1}{2}$ m/sec의 비율로 증가한다. 모서리의 길이가 4 m일 때, 정육면체의 부피가 증가하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

The side of a cube increases at a rate of $\frac{1}{2}$ m/sec. Find the rate at which the volume of the cube increases when the side of the cube is 4 m.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 7번

# 관련 변화율활용자동 분류

19.OpenStax 1권 · 4.1절 · 17번우리말 번역

정육면체의 부피가 10 m³/s 의 비율로 감소합니다. 정육면체의 한 모서리의 길이가 2 m 일 때, 그 모서리의 길이가 변하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

The volume of a cube decreases at a rate of 10 m³/s. Find the rate at which the side of the cube changes when the side of the cube is 2 m.

정답·풀이 보기

$-\frac{5}{6}$ m/sec

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{5}{6}$ m/sec

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 27번

# 관련 변화율활용자동 분류

20.OpenStax 1권 · 4.1절 · 18번우리말 번역

원의 반지름이 $2$ m/sec 의 비율로 증가합니다. 반지름이 5 m 일 때, 원의 넓이가 증가하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

The radius of a circle increases at a rate of $2$ m/sec. Find the rate at which the area of the circle increases when the radius is 5 m.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 5번

# 관련 변화율활용자동 분류