로피탈 정리 연습문제 — Active Calculus · 3.2절 · 14번

Active Calculus · 3.2절 · 14번대학 수준우리말 번역

함수 $g$ 가 함수 $f$ 를 지배한다고 하는 것은 $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ , $\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty$ , 그리고 $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ 일 때임을 떠올리세요.

(a) $\ln(x)$ 와 $\sqrt{x}$ 중 어느 함수가 다른 함수를 지배하는지 답하세요. (b) $\ln(x)$ 와 $\sqrt[n]{x}$ 중 어느 함수가 다른 함수를 지배하는지 답하세요. ( $n$ 은 임의의 양의 정수) (c) $e^x$ 이 모든 다항식 함수를 지배하는 이유를 설명하세요. (d) 모든 양의 정수 $n$ 에 대해 $x^n$ 이 $\ln(x)$ 를 지배하는 이유를 설명하세요. (e) 어느 쪽도 다른 쪽을 지배하지 않는 두 비선형 함수의 예를 하나 드세요.

영어 원문 보기

Recall we say that function $g$ dominates function $f$ provided that $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ , $\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty$ , and $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ .

(a) Which function dominates the other: $\ln(x)$ or $\sqrt{x}$ ? (b) Which function dominates the other: $\ln(x)$ or $\sqrt[n]{x}$ ? ( $n$ can be any positive integer) (c) Explain why $e^x$ will dominate any polynomial function. (d) Explain why $x^n$ will dominate $\ln(x)$ for any positive integer $n$ . (e) Give any example of two nonlinear functions such that neither dominates the other.

정답·풀이 보기

(a) $\ln(x)$ 와 $\sqrt{x}$ 는 모두 $x \to \infty$ 일 때 한없이 커지므로 $\lim_{x \to \infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}\,$ 을 생각한다. 로피탈의 정리와 약간의 식 정리에 의해 $\lim_{x \to \infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to \infty}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2x^{1/2}}} = \lim_{x \to \infty}\frac{2x^{1/2}}{x} = \lim_{x \to \infty}\frac{2}{x^{1/2}}\,.$ 따라서 $\lim_{x \to \infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} = 0\,,$ 이고, 그러므로 $\sqrt{x}$ 가 $\ln(x)$ 를 지배한다. (b) $(a)$ 의 풀이와 비슷한 방법으로, 모든 양의 정수 $n$ 에 대해 $\sqrt[n]{x}$ 가 $\ln(x)$ 를 지배함을 보일 수 있다. 특히 로피탈의 정리와 약간의 식 정리에 의해 $\lim_{x \to \infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt[n]{x}} = \lim_{x \to \infty}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{nx^{(n-1)/n}}} = \lim_{x \to \infty}\frac{nx^{(n-1)/n}}{x}\,.$ $\frac{x^{(n-1)/n}}{x} = x^{(n-1)/n - 1} = x^{(n-1-n)/n} = x^{-1/n}$ 이므로 $\lim_{x \to \infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt[n]{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{1/n}} = 0$ 이다. 따라서 모든 양의 정수 $n$ 에 대해 $\sqrt[n]{x}$ 가 $\ln(x)$ 를 지배함을 보였다. (c) $e^x$ 이 모든 다항식 함수를 지배하는 이유를 알아보기 위해 $p(x) = x^4$ 을 생각한다. 두 함수의 비의 극한을 생각하고 로피탈의 정리를 한 번 적용하면 $\lim_{x \to \infty} \frac{x^4}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x^3}{e^x}$ 이다. 로피탈의 정리를 반복해서 적용하면 (처음에 어떤 다항식으로 시작하든) ( $n$ 번 적용한 뒤) 분자는 결국 상수가 되고, 분모에는 여전히 $e^x$ 이 있으므로 전체 극한은 $0$ 이다. (d) 여기서는 $n \ge 1$ 일 때 $\ln(x)$ 와 $x^n$ 의 비의 극한을 생각하는 것이 자연스럽다. 두 함수가 모두 한없이 커지므로 로피탈의 정리를 적용할 수 있다. 이를 적용하고 약간의 식 정리를 하면 $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{nx^{n-1}} = \frac{1}{nx^n} = 0$ 이므로 $x^n$ 이 실제로 지배한다. (e) $f(x) = 3x^2 + 1$ 과 $g(x) = -0.5x^2 + 5x - 2$ 를 생각한다. 이 함수들은 차수가 같은 다항식이므로 $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{3}{-0.5} = -6\,$ 임을 알 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We note that both $\ln(x)$ or $\sqrt{x}$ increase without bound as $x \to \infty$ , so we consider $\lim_{x \to \infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}\,.$ By L'Hôpital's Rule and some simplifying algebra, $\lim_{x \to \infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to \infty}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2x^{1/2}}} = \lim_{x \to \infty}\frac{2x^{1/2}}{x} = \lim_{x \to \infty}\frac{2}{x^{1/2}}\,.$ Thus, it follows that $\lim_{x \to \infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} = 0\,,$ and hence $\sqrt{x}$ dominates $\ln(x)$ . (b) Using a similar argument to our work in $(a)$ , we can show that $\sqrt[n]{x}$ dominates $\ln(x)$ for any positive integer $n$ . In particular, by L'Hôpital's Rule and some simplifying algebra, $\lim_{x \to \infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt[n]{x}} = \lim_{x \to \infty}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{nx^{(n-1)/n}}} = \lim_{x \to \infty}\frac{nx^{(n-1)/n}}{x}\,.$ Since $\frac{x^{(n-1)/n}}{x} = x^{(n-1)/n - 1} = x^{(n-1-n)/n} = x^{-1/n}$ , it follows that $\lim_{x \to \infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt[n]{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{1/n}} = 0$ we've shown that $\sqrt[n]{x}$ dominates $\ln(x)$ for any positive integer $n$ . (c) To see why $e^x$ will dominate any polynomial function, consider $p(x) = x^4$ . If we consider the limit of their quotient and apply LHR once, we see that $\lim_{x \to \infty} \frac{x^4}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x^3}{e^x}$ By repeated application of LHR, the numerator (regardless of what polynomial we start with) will eventually be simply a constant (after $n$ applications of LHR), and thus with $e^x$ still in the denominator, the overall limit will be $0$ . (d) Here we naturally consider the limit of the quotient of $\ln(x)$ and $x^n$ , where $n \ge 1$ . Since both functions increase without bound, we can apply LHR. Doing so along with some simplifying algebra, we see $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{nx^{n-1}} = \frac{1}{nx^n} = 0$ and thus $x^n$ indeed dominates. (e) Consider $f(x) = 3x^2 + 1$ and $g(x) = -0.5x^2 + 5x - 2$ . Since these functions are polynomials of the same degree, we know $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{3}{-0.5} = -6\,.$

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 3.2절 · 13번우리말 번역

모든 $x > 0$ 에 대해 정의된 함수 $g(x) = x^{2x}$ 를 생각하세요. $\lim_{x \to 0^+} g(x)$ 는 $0^0$ 꼴이므로 부정형임을 확인하세요. (모든 $k > 0$ 에 대해 $0^k = 0$ 이고 모든 $b \ne 0$ 에 대해 $b^0 = 1$ 이지만, 두 규칙 모두 $0^0$ 에는 적용할 수 없는 이유를 생각해 보세요.)

(a) $h(x) = \ln(g(x))$ 라 하세요. $h(x) = 2x \ln(x)$ 인 이유를 설명하세요. (b) 다음으로, $h(x) = \frac{2\ln(x)}{\frac{1}{x}}$ 로 쓰는 것이 같은 식인 이유를 설명하세요. (c) 로피탈의 정리와 (b)의 결과를 이용하여 $\lim_{x \to 0^+} h(x)$ 의 값을 구하세요. (d) $\lim_{x \to 0^+} h(x)$ 의 값을 바탕으로 $\lim_{x \to 0^+} g(x)$ 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $h(x) = \ln(g(x))$ 이고 $g(x) = x^{2x}$ 이므로 $h(x) = \ln(x^{2x}) = 2x \cdot \ln(x)\,.$ (b) $x = (x^{-1})^{-1} = \frac{1}{\frac{1}{x}}$ 이므로 다음과 같이 쓸 수도 있다. $h(x) = \frac{2\ln(x)}{\frac{1}{x}}\,.$ (c) $x \to 0^+$ 일 때 $\ln(x) \to -\infty$ 이고 $x \to 0^+$ 일 때 $\frac{1}{x} \to +\infty$ 이므로 $\lim_{x \to 0^+} h(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{2\ln(x)}{\frac{1}{x}}$ 은 로피탈의 정리를 적용할 수 있는 부정형이다. 로피탈의 정리를 적용하면 $\lim_{x \to 0^+} h(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{2\ln(x)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{2}{x}}{-\frac{1}{x^2}}$ 식을 간단히 하면 $\lim_{x \to 0^+} h(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{2}{x} \cdot \left(-\frac{x^2}{1}\right) = \lim_{x \to 0^+} (-2x)$ 따라서 $\lim_{x \to 0^+} h(x) = 0$ 이다. (d) $\lim_{x \to 0^+} h(x) = 0$ 임을 보였고 $h(x) = \ln(g(x))$ 이므로, $x \to 0^+$ 일 때 $g(x)$ 의 자연로그는 $0$ 에 가까워진다. $\ln(1) = 0$ 이므로 $g(x)$ 는 $1$ 에 가까워져야 하고, 따라서 $\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} x^{2x} = 1$ 이다.

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