극대와 극소

(a) $g'(x) = \frac{(x+4)(x-1)^2}{x-2}$ 이므로 $g'(x) = 0$ 이면 $x = -4$ 또는 $x = 1$ 임을 알 수 있다. $x = 2$ 는 $g'$ 을 정의되지 않게 하지만, $g$ 가 $x = 2$ 에서 수직 점근선을 갖는다고 하였으므로 $x = 2$ 는 $g$ 의 정의역에 속하지 않고, 따라서 엄밀히 말해 $g$ 의 임계수가 아니다. 그럼에도 수직 점근선은 $g'$ 의 부호가 바뀔 수 있는 위치이므로, 1계 도함수의 부호표에는 $x = 2$ 를 표시한다. (b) 1계 도함수의 부호표는 $x < -4$ 일 때 $g'(x) > 0$, $-4 < x < 1$ 일 때 $g'(x) < 0$, $1 < x < 2$ 일 때 $g'(x) < 0$, $x > 2$ 일 때 $g'(x) > 0$ 임을 보여 준다. 1계 도함수 판정법에 의해 $g$ 는 $x = -4$ 에서 극댓값을 갖고, $x = 1$ 에서는 극댓값도 극솟값도 갖지 않는다. 이 두 값이 유일한 임계수이므로, 극값이 가능한 위치는 이 두 곳뿐이다. (참고: $g$ 가 $x = 2$ 에서 감소에서 증가로 바뀌지만, 이는 수직 점근선 때문이며 $g$ 는 그곳에서 극솟값을 갖지 않는다.) (c) $g$ 는 $x \to 2^-$ 일 때 (이곳에서 $g$ 는 수직 점근선을 갖는다) 감소하므로 $g$ 는 최솟값을 갖지 않는다. $x > 2$ 에서 $g$ 는 항상 증가하므로 $g$ 가 최댓값을 갖지 않을 것으로 짐작된다. (다만 $g$ 가 한없이 증가하는지는 확실히 알지 못한다.) (d) 다음을 관찰하자. $$\begin{aligned}\lim_{x \to \infty} g'(x) =\mathstrut & \lim_{x \to \infty} \frac{(x+4)(x-1)^2}{x-2} \\ =\mathstrut & \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 2x^2 - 7x + 4}{x-2} \cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} \\ =\mathstrut & \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2x - 7 + \frac{4}{x}}{1 - \frac{2}{x}} \\ =\mathstrut & \infty\end{aligned}$$ $x \to \infty$ 일 때 $g'(x) \to \infty$ 이므로, 이는 $x \to \infty$ 일 때 $g$ 가 한없이 증가함을 말해 준다. (e) 위의 모든 풀이로부터 $g$ 는 $x = -4$ 에서 극댓값을 갖고, $x = 1$ 에서는 극댓값도 극솟값도 갖지 않으면서 수평인 접선을 가지며, $x = 2$ 에서 수직 점근선을 갖고, 또한 $x \to \infty$ 일 때 $g$ 와 $g'$ 이 모두 한없이 증가함을 알 수 있다. 따라서 $g$ 의 가능한 그래프는 다음과 같다.