극대와 극소 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 4.3절 · 4번우리말 풀이

임계점을 찾을 때 $f'(x)$ 가 정의되지 않는 점도 함께 살펴야 하는 이유를 설명하세요. 그래프를 그려 설명을 뒷받침하세요.

영어 원문 보기

When you are checking for critical points, explain why you also need to determine points where $f'(x)$ is undefined. Draw a graph to support your explanation.

풀이 보기

극값은 접선이 수평인 곳에서만 생기는 것이 아니에요. 그래프가 뾰족하게 꺾여 미분이 안 되는 점에서도 극값이 생길 수 있어요.

1
극값 후보를 정리해요. 미분가능한 함수에서 극값이 생기면 그 점에서 $f'(x)=0$ 이에요. 하지만 이것은 '미분가능할 때'만 성립하는 이야기예요. 미분이 안 되는 점은 이 방법으로 걸러 낼 수 없어요.
2
예를 들어 볼게요. $f(x)=|x|$ 의 그래프는 $x=0$ 에서 뾰족한 V자 모양이에요. $x=0$ 에서 좌미분계수는 $-1$ , 우미분계수는 $1$ 이라 $f'(0)$ 이 존재하지 않아요. 그런데 $f(0)=0$ 은 모든 $x$ 에서의 값 중 가장 작은 값, 즉 극솟값(최솟값)이에요.
3
결론을 말해요. 만약 $f'(x)=0$ 인 점만 조사하면 $y=|x|$ 의 극솟점 $x=0$ 을 놓쳐요(그 점에서 $f'(x)=0$ 이 되는 곳은 없으니까요). 그래서 $f'(x)=0$ 인 점뿐 아니라 $f'(x)$ 가 정의되지 않는 점까지 모두 임계점 후보로 확인해야 해요.

답

예시 답: $f'(x)$ 가 정의되지 않는 점에서도 극값이 생길 수 있다. 예를 들어 $f(x)=|x|$ 는 $x=0$ 에서 미분불가능하지만 극솟값 $0$ 을 갖는다. 그러므로 $f'(x)=0$ 인 점뿐 아니라 $f'$ 가 정의되지 않는 점도 조사해야 한다.

자주 하는 실수

극값은 항상 $f'(x)=0$ 인 점에서만 생긴다고 외우는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 8번

# 극대와 극소개념 확인보통

2.OpenStax 1권 · 4.3절 · 1번우리말 번역

수학Ⅱ 이전에 이차방정식 $y=a{x}^{2}+bx+c$ 의 최댓값 또는 최솟값의 위치를 구하는 공식 $h=-\frac{b}{(2a)}$ 를 배웠습니다. 미적분을 이용하여 이 공식을 증명하세요.

영어 원문 보기

In precalculus, you learned a formula for the position of the maximum or minimum of a quadratic equation $y=a{x}^{2}+bx+c,$ which was $h=-\frac{b}{(2a)}.$ Prove this formula using calculus.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 28번

# 극대와 극소증명·논술자동 분류

3.OpenStax 1권 · 4.3절 · 2번우리말 번역

구간 $[a,b]$ 에서 최솟값을 구할 때, 왜 끝점을 확인해야 하나요? 이 가설을 뒷받침하는 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

If you are finding an absolute minimum over an interval $[a,b],$ why do you need to check the endpoints? Draw a graph that supports your hypothesis.

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 3.3절 · 10번

# 극대와 극소그래프·표 해석자동 분류

4.OpenStax 1권 · 4.3절 · 3번우리말 번역

구간 $(a,b)$ 에서 함수를 살펴볼 때, $a$ 와 $b$ 가 유한하다면 최댓값이나 최솟값이 없을 수도 있나요?

영어 원문 보기

If you are examining a function over an interval $(a,b),$ for $a$ and $b$ finite, is it possible not to have an absolute maximum or absolute minimum?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 50번

# 극대와 극소계산자동 분류

5.OpenStax 1권 · 4.3절 · 5번우리말 번역

$y=a{x}^{2}+bx+c$ 가 $(-\infty ,\infty )$ 에서 유한한 최댓값을 가질 수 있나요? 그래프를 이용한 논증으로 그 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Can you have a finite absolute maximum for $y=a{x}^{2}+bx+c$ over $(-\infty ,\infty )?$ Explain why or why not using graphical arguments.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 14번

# 극대와 극소개념 확인자동 분류

6.OpenStax 1권 · 4.3절 · 6번우리말 번역

$a$ 가 0이 아니라고 할 때, $y=a{x}^{3}+b{x}^{2}+cx+d$ 가 $(-\infty ,\infty )$ 에서 유한한 최댓값을 가질 수 있나요? 그래프를 이용한 논증으로 그 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Can you have a finite absolute maximum for $y=a{x}^{3}+b{x}^{2}+cx+d$ over $(-\infty ,\infty )$ assuming a is non-zero? Explain why or why not using graphical arguments.

정답·풀이 보기

아니요; 답은 다양할 수 있다

원본 교재 풀이(영어)

No; answers will vary

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 2번

# 극대와 극소개념 확인자동 분류

7.OpenStax 1권 · 4.3절 · 7번우리말 번역

극솟값의 개수를 $m$ , 극댓값의 개수를 $M$ 이라 하자. $M>m+2$ 인 함수를 만들 수 있나요? 설명을 뒷받침하는 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Let $m$ be the number of local minima and $M$ be the number of local maxima. Can you create a function where $M>m+2?$ Draw a graph to support your explanation.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 48번

# 극대와 극소그래프·표 해석자동 분류

8.OpenStax 1권 · 4.3절 · 8번우리말 번역

최댓값이 둘 이상 있을 수 있나요? 그래프를 이용한 논증으로 가설을 증명하세요.

영어 원문 보기

Is it possible to have more than one absolute maximum? Use a graphical argument to prove your hypothesis.

정답·풀이 보기

최댓값은 $x$ 값이 아니라 함숫값(출력값)이므로 답은 '아니요'이다. 답은 다양할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Since the absolute maximum is the function (output) value rather than the x value, the answer is no; answers will vary

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 6번

# 극대와 극소증명·논술자동 분류

9.OpenStax 1권 · 4.3절 · 9번우리말 번역

함수가 최솟값도 최댓값도 갖지 않을 수 있나요? 그렇다면 그런 함수를 만들어 보세요. 그렇지 않다면 왜 불가능한지 설명하세요.

영어 원문 보기

Is it possible to have no absolute minimum or maximum for a function? If so, construct such a function. If not, explain why this is not possible.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 12번

# 극대와 극소계산자동 분류

10.OpenStax 1권 · 4.3절 · 10번우리말 번역

[계산기 사용] 함수 $y={e}^{ax}$ 의 그래프를 그리세요. 임의의 무한한 정의역에서 최솟값과 최댓값을 모두 가지려면 $a$ 의 값이 얼마여야 하는지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Graph the function $y={e}^{ax}.$ For which values of $a,$ on any infinite domain, will you have an absolute minimum and absolute maximum?

정답·풀이 보기

$a=0$ 일 때

원본 교재 풀이(영어)

When $a=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 12번

# 극대와 극소그래프·표 해석자동 분류

11.OpenStax 1권 · 4.3절 · 11번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 그래프에서 극댓값, 극솟값, 최댓값, 최솟값이 어디에서 나타나는지 구하세요. 그래프는 각 함수 전체를 나타낸다고 가정합니다. 끝점에 있는 극값에 대해서는 x의 값을 어림하세요.

그래프로 나타낸 함수는 (−4, 60)에서 시작하여 (−3, −40)까지 급격히 감소하고, (−1, 10)까지 증가한 뒤 (2, 0)까지 완만하게 감소하며, 그 지점에서 (3, 30)까지 급격히 증가한다.

영어 원문 보기

For the following exercises, determine where the local and absolute maxima and minima occur on the graph given. Assume the graph represents the entirety of each function. For any extrema located at an endpoint, approximate the x-value.

The function graphed starts at (−4, 60), decreases rapidly to (−3, −40), increases to (−1, 10) before decreasing slowly to (2, 0), at which point it increases rapidly to (3, 30).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 44번

# 극대와 극소그래프·표 해석자동 분류

12.OpenStax 1권 · 4.3절 · 12번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 그래프에서 극댓값, 극솟값, 최댓값, 최솟값이 어디에서 나타나는지 구하세요. 그래프는 각 함수 전체를 나타낸다고 가정합니다. 끝점에 있는 극값에 대해서는 x의 값을 어림하세요.

그래프로 나타낸 함수는 (−2.2, 10)에서 시작하여 (−2, −11)까지 급격히 감소하고, (−1, 5)까지 증가한 뒤 (1, 3)까지 완만하게 감소하며, 그 지점에서 (2, 7)까지 증가한 다음 (3, −20)까지 감소한다.

영어 원문 보기

For the following exercises, determine where the local and absolute maxima and minima occur on the graph given. Assume the graph represents the entirety of each function. For any extrema located at an endpoint, approximate the x-value.

The function graphed starts at (−2.2, 10), decreases rapidly to (−2, −11), increases to (−1, 5) before decreasing slowly to (1, 3), at which point it increases to (2, 7), and then decreases to (3, −20).

정답·풀이 보기

최솟값은 3에서, 최댓값은 −2.2에서 나타난다. 극솟값은 −2, 1에서, 극댓값은 −1, 2에서 나타난다.

원본 교재 풀이(영어)

Absolute minimum at 3; Absolute maximum at −2.2; local minima at −2, 1; local maxima at −1, 2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.1절 · 1번

# 극대와 극소그래프·표 해석자동 분류

13.OpenStax 1권 · 4.3절 · 13번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 그래프에서 극값과 최댓값, 최솟값이 어디에서 나타나는지 판단하세요. 그래프가 각 함수의 전체를 나타낸다고 가정합니다. 끝점에 있는 극값에 대해서는 $x$ 의 값을 어림하세요.

그래프로 나타낸 함수는 (−3, −1)에서 시작하여 (−2, 0.7)까지 빠르게 증가하고, (−1, −0.25)까지 감소한 다음 (1, 0.25)까지 천천히 감소하며, 그 지점에서 (2, 0.7)까지 감소하다가 (3, 1)까지 증가한다.

영어 원문 보기

For the following exercises, determine where the local and absolute maxima and minima occur on the graph given. Assume the graph represents the entirety of each function. For any extrema located at an endpoint, approximate the x-value.

The function graphed starts at (−3, −1), increases rapidly to (−2, 0.7), decreases to (−1, −0.25) before decreasing slowly to (1, 0.25), at which point it decreases to (2, 0.7), and then increases to (3, 1).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 16번

# 극대와 극소그래프·표 해석자동 분류

14.OpenStax 1권 · 4.3절 · 14번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 그래프에서 극값과 최댓값, 최솟값이 어디에서 나타나는지 판단하세요. 그래프가 각 함수의 전체를 나타낸다고 가정합니다. 끝점에 있는 극값에 대해서는 $x$ 의 값을 어림하세요.

그래프로 나타낸 함수는 (−2.5, 1)에서 시작하여 (−2, −1.25)까지 빠르게 감소하고, (−1, 0.25)까지 증가한 다음 (0, 0.2)까지 천천히 감소하며, 그 지점에서 (1, 0.25)까지 천천히 증가하고, 이어서 (2, −1.25)까지 빠르게 감소하다가 마지막으로 (2.5, 1)까지 증가한다.

영어 원문 보기

For the following exercises, determine where the local and absolute maxima and minima occur on the graph given. Assume the graph represents the entirety of each function. For any extrema located at an endpoint, approximate the x-value.

The function graphed starts at (−2.5, 1), decreases rapidly to (−2, −1.25), increases to (−1, 0.25) before decreasing slowly to (0, 0.2), at which point it increases slowly to (1, 0.25), then decreases rapidly to (2, −1.25), and finally increases to (2.5, 1).

정답·풀이 보기

최솟값은 −2, 2에서 나타나고, 최댓값은 −2.5, 2.5에서 나타난다. 극솟값은 –2, 0, 2에서 나타난다(참고: –2와 2는 극솟값이면서 최솟값이다). 극댓값은 −1, 1에서 나타난다.

원본 교재 풀이(영어)

Absolute minima at −2, 2; absolute maxima at −2.5, 2.5; minima at –2, 0, and 2 (Note: –2 and 2 are both local and absolute minima); local maxima at −1, 1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.5절 · 3번

# 극대와 극소그래프·표 해석자동 분류

15.OpenStax 1권 · 4.3절 · 15번우리말 번역

다음 문제에서, 구간 $[-4,4]$ 에서 연속이고 다음 성질을 갖는 함수 $f(x)$ 의 그래프를 그리세요.

$x=2$ 에서 최댓값, $x=\pm 3$ 에서 최솟값을 갖는다

영어 원문 보기

For the following problems, draw graphs of $f(x),$ which is continuous, over the interval $[-4,4]$ with the following properties:

Absolute maximum at $x=2$ and absolute minima at $x=\pm 3$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 26번

# 극대와 극소계산자동 분류

16.OpenStax 1권 · 4.3절 · 16번우리말 번역

다음 문제에서, 구간 $[-4,4]$ 에서 연속이고 다음 성질을 갖는 함수 $f(x)$ 의 그래프를 그리세요.

$x=1$ 에서 최솟값, $x=2$ 에서 최댓값을 갖는다

영어 원문 보기

For the following problems, draw graphs of $f(x),$ which is continuous, over the interval $[-4,4]$ with the following properties:

Absolute minimum at $x=1$ and absolute maximum at $x=2$

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.5절 · 2번

# 극대와 극소계산자동 분류

17.OpenStax 1권 · 4.3절 · 17번우리말 번역

$x=4$ 에서 최댓값, $x=-1$ 에서 최솟값, $x=-2$ 에서 극댓값을 갖고, $x=2$ 에서 극댓값도 극솟값도 아닌 임계점을 갖는다

영어 원문 보기

Absolute maximum at $x=4,$ absolute minimum at $x=-1,$ local maximum at $x=-2,$ and a critical point that is not a maximum or minimum at $x=2$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.1절 · 2번

# 극대와 극소계산자동 분류

18.OpenStax 1권 · 4.3절 · 18번우리말 번역

$x=2$ 와 $x=-3$ 에서 최댓값, $x=1$ 에서 극솟값, $x=4$ 에서 최솟값을 가진다

영어 원문 보기

Absolute maxima at $x=2$ and $x=-3,$ local minimum at $x=1,$ and absolute minimum at $x=4$

정답·풀이 보기

답은 여러 가지일 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.5절 · 1번

# 극대와 극소계산자동 분류

19.OpenStax 1권 · 4.3절 · 19번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수의 정의역에서 임계수를 구하세요.

$y=4{x}^{3}-3x$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the critical numbers in the domains of the following functions.

$y=4{x}^{3}-3x$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 30번

# 극대와 극소계산자동 분류

20.OpenStax 1권 · 4.3절 · 20번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수의 정의역에서 임계수를 구하세요.

$y=4\sqrt{x}-{x}^{2}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the critical numbers in the domains of the following functions.

$y=4\sqrt{x}-{x}^{2}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$x=1$

원본 교재 풀이(영어)

$x=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 36번

# 극대와 극소계산자동 분류