최댓값·최솟값과 최적화 연습문제 — Active Calculus · 3.5절 · 9번

Active Calculus · 3.5절 · 9번우리말 번역

아래에 설명된 각 함수( $[a,b]$ 에서 연속)에 대하여, 구간 $[a,b]$ 에서 함수의 최댓값과 최솟값이 어디에서 나타나는지 말하거나, 결론을 내리기에 주어진 정보가 충분하지 않다고 말하세요. 문제에 언급된 임계수는 그 함수가 $[a,b]$ 에서 갖는 임계수 전부라고 가정하세요. 각 경우에 답의 이유를 한 문장으로 쓰세요.

(a) $[a,b]$ 의 모든 $x$ 에 대해 $f'(x) \le 0$ (b) $g$ 는 $a < c< b$ 인 $c$ 에서 임계수를 가지며, $x < c$ 일 때 $g'(x) > 0$ 이고 $x > c$ 일 때 $g'(x) < 0$ (c) $h(a) = h(b)$ 이고 $[a,b]$ 의 모든 $x$ 에 대해 $h''(x) < 0$ (d) $p(a) > 0$ , $p(b) < 0$ 이고, $a < c < b$ 인 임계수 $c$ 에 대해 $x < c$ 일 때 $p'(x) < 0$ 이고 $x > c$ 일 때 $p'(x) > 0$

영어 원문 보기

For each of the functions described below (each continuous on $[a,b]$ ), state the location of the function's absolute maximum and absolute minimum on the interval $[a,b]$ , or say there is not enough information provided to make a conclusion. Assume that any critical numbers mentioned in the problem statement represent all of the critical numbers the function has in $[a,b]$ . In each case, write one sentence to explain your answer.

(a) $f'(x) \le 0$ for all $x$ in $[a,b]$ (b) $g$ has a critical number at $c$ such that $a < c< b$ and $g'(x) > 0$ for $x < c$ and $g'(x) < 0$ for $x > c$ (c) $h(a) = h(b)$ and $h''(x) < 0$ for all $x$ in $[a,b]$ (d) $p(a) > 0$ , $p(b) < 0$ , and for the critical number $c$ such that $a < c < b$ , $p'(x) < 0$ for $x < c$ and $p'(x) > 0$ for $x > c$

정답·풀이 보기

(a) $[a,b]$ 의 모든 $x$ 에 대해 $f'(x) \leq 0$ 이라는 것은 이 구간에서 $f$ 가 증가할 수 없다는 뜻이다. 따라서 이 구간에서 $f$ 는 상수이거나 어딘가에서 $f$ 가 감소한다. 그러므로 $f$ 의 최댓값은 $x=a$ 에서, 최솟값은 $x=b$ 에서 나타난다고 결론지을 수 있다. (b) 주어진 정보에 따르면 $g$ 는 $(a,c)$ 에서 증가하고 $(c,b)$ 에서 감소한다. 따라서 $g$ 는 $x=c$ 에서 최댓값을 갖는다. $g$ 의 최솟값은 $x=a$ 또는 $x=b$ 에서 나타나야 한다. 주어진 정보만으로는 $g$ 가 $(a,c)$ 에서 얼마나 증가하고 $(c,b)$ 에서 얼마나 감소하는지 알 수 없으므로, $g$ 가 최솟값을 갖는 끝점이 어느 쪽인지는 판단할 수 없다. (c) $h(a)=h(b)$ 이고 $[a,b]$ 의 모든 $x$ 에 대해 $h''(x) < 0$ 이려면, $h$ 의 그래프는 구간 $[a,b]$ 에서 위로 볼록한, 즉 아래쪽으로 열린 포물선과 비슷한 모양이어야 한다. 따라서 $h$ 는 $x=a$ 와 $x=b$ 에서 최솟값을 갖고 $(a,b)$ 안의 어딘가에서 최댓값을 갖지만, $h$ 가 최댓값을 갖는 정확한 점은 알 수 없다. (d) 주어진 정보에 따르면 $p$ 의 그래프는 $(a,c)$ 에서 감소한 다음 $(c,b)$ 에서 증가한다. 따라서 $p(c) < p(b)$ 여야 하고, $p$ 는 $x=c$ 에서 최솟값을 갖는다. $p(a) > p(b)$ 이므로 $p(a)$ 가 $[a,b]$ 에서 $p$ 의 최댓값이 된다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The fact that $f'(x) \leq 0$ for all $x$ in $[a,b]$ means that $f$ cannot increase in this interval. So either $f$ is constant or $f$ decreases somewhere in this interval. We can conclude that the global maximum value of $f$ occurs at $x=a$ and the global minimum value at $x=b$ . (b) The information we are given shows that $g$ is increasing on $(a,c)$ and decreasing on $(c,b)$ . So $g$ has a global maximum value at $x=c$ . We know that $g$ must have a global minimum at either $x=a$ or $x=b$ . The information given does not tell us how much $g$ increases on $(a,c)$ and decreases on $(c,b)$ , so we cannot determine the endpoint at which $g$ attains its global minimum value. (c) In order for $h(a)=h(b)$ and $h''(x) < 0$ for all $x$ in $[a,b]$ , the graph of $h$ must look something like a parabola that opens down on the interval $[a,b]$ . Consequently, $h$ has its global minimum at $x=a$ and $x=b$ , and its global maximum somewhere in $(a,b)$ , but we do not know the exact point at which $h$ attains its global maximum. (d) The given information forces the graph of $p$ to decrease on $(a,c)$ then increase on $(c,b)$ . Thus, we must have $p(c) < p(b)$ and so $p$ has its global minimum value at $x=c$ . Since $p(a) > p(b)$ , this makes $p(a)$ the global maximum value of $p$ on $[a,b]$ .

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 3.5절 · 8번우리말 번역

하나 이상의 매개변수에 따라 달라지는 각 함수족에 대해, 주어진 구간에서 그 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

(a) $p(x) = x^3 - a^2x$ , $[0,a]$ ( $a > 0$ ) (b) $r(x) = axe^{-bx}$ , $[\frac{1}{2b}, \frac{2}{b}]$ ( $a > 0, b > 1$ ) (c) $w(x) = a(1-e^{-bx})$ , $[b, 3b]$ ( $a, b > 0$ ) (d) $s(x) = \sin(kx)$ , $\left[\frac{\pi}{3k}, \frac{5\pi}{6k}\right]$ ( $k > 0$ )

다 풀었으면 정답 확인

(a) $[0,a]$ 에서 $p(x) = x^3 - a^2x$ 가 주어졌으므로, 먼저 $[0,a]$ 에 속하는 $p$ 의 임계수를 구한다. $p'(x) = 3x^2 - a^2 = 3\left(x^2 - \frac{a^2}{3} \right)$ 이므로 $p$ 는 $x = \pm \frac{a}{\sqrt{3}}$ 에서 임계수를 가진다. 음의 임계수는 구간 밖에 있고, 양의 임계수는 $0 < \frac{1}{\sqrt{3}} < 1$ 이므로 구간 안에 있다. 양 끝점과 구간 안의 임계수에서 $p$ 의 값을 구하면 $p(0) = 0$ , $p(a) = a^3 - a^2 \cdot a = 0$ , $p\left( \frac{a}{\sqrt{3}} \right) = \left( \frac{a}{\sqrt{3}} \right)^3 - a^2 \cdot \left( \frac{a}{\sqrt{3}} \right) = \frac{a^3}{3\sqrt{3}} - \frac{a^3}{\sqrt{3}} = -\frac{2a^3}{3\sqrt{3}}$ 이다. 따라서 $[0,a]$ 에서 $p$ 의 최댓값은 $p(0) = p(a) = 0$ 이고 최솟값은 $p\left( \frac{a}{\sqrt{3}} \right) = -\frac{2a^3}{3\sqrt{3}}$ 이다. (b) $\left[\frac{1}{2b}, \frac{2}{b}\right]$ 에서 $r(x) = axe^{-bx}$ 가 주어졌으므로, 먼저 주어진 구간에 속하는 $r$ 의 임계수를 구한다. 곱의 미분법에 의해 $r'(x) = ax e^{-bx} (-b) + e^{-bx} a$ 이다. 인수분해하면 $r'(x) = ae^{-bx}(-bx + 1)$ 이므로 $r$ 의 임계수는 $x = \frac{1}{b}$ 하나뿐이다. $b > 1$ 이므로 $\frac{1}{2b} < \frac{1}{b} < b$ 이고, 따라서 임계수는 구간 안에 있다. 양 끝점과 임계수에서 $r$ 의 값을 구하면 다음과 같다.

$r\left( \frac{1}{2b} \right) = a \cdot \frac{1}{2b} \cdot e^{-1/2} \approx 0.607 \frac{a}{2b} = 0.3035 \frac{a}{b}$
$r\left( \frac{2}{b} \right) = a \cdot \frac{2}{b} \cdot e^{-2} \approx 0.135 \frac{2a}{b} = 0.270 \frac{a}{b}$
$r\left( \frac{1}{b} \right) = a \cdot \frac{1}{b} \cdot e^{-1} \approx 0.368 \frac{a}{b}$ 따라서 $r$ 의 최댓값은 $r\left( \frac{1}{b} \right) \approx 0.368 \frac{a}{b}$ 이고 최솟값은 $r\left( \frac{2}{b} \right) \approx 0.270 \frac{a}{b}$ 이다. (c) $[b, 3b]$ 에서 $w(x) = a(1-e^{-bx})$ 에 대해, 먼저 $w'(x) = a(be^{-bx}) = abe^{-bx}$ 이다. $a$ 와 $b$ 는 모두 양수이고 모든 $x$ 의 값에 대해 $e^{-bx}$ 도 양수이므로, 모든 $x$ 의 값에 대해 $w'(x) > 0$ 임을 알 수 있다. $w$ 는 항상 증가하므로(특히 $[b,3b]$ 에서), $w$ 는 왼쪽 끝점( $g(b) = a(1-e^{-b^2})$ )에서 최솟값을, 오른쪽 끝점( $g(3b) = a(1-e^{-3b^2})$ )에서 최댓값을 가진다. (d) 마지막으로 $\left[\frac{\pi}{3k}, \frac{5\pi}{6k}\right]$ 에서 $s(x) = \sin(kx)$ 에 대해, $s'(x) = k\cos(kx)$ 이고 어떤 정수 $n$ 에 대해 $kx = \frac{\pi}{2} \pm n\pi$ 일 때 $\cos(kx) = 0$ 이므로 $x = \frac{\pi}{2k} \pm n\pi = \frac{\pi \pm 2n\pi}{2k}$ 이다. 이 $x$ 의 값들이 $s$ 의 임계수이다. $n = -1, 0, 1$ 일 때 해당하는 임계수는 다음과 같다. $x = -\frac{\pi}{2k}, \frac{\pi}{2k}, \frac{3\pi}{2k}$ $-\frac{\pi}{2}$ , $\frac{\pi}{2k}$ , $\frac{3\pi}{2k}$ 의 값을 $\frac{\pi}{3}$ 및 $\frac{5\pi}{6}$ 과 비교하면, $\frac{\pi}{2k}$ 만 주어진 구간 $\left[\frac{\pi}{3k}, \frac{5\pi}{6k}\right]$ 안에 있음을 알 수 있다. 따라서 $x = \frac{\pi}{2k}$ 가 $s$ 의 값을 구해야 하는 유일한 임계수이다. 양 끝점과 해당 임계수에서 $s$ 의 값을 구하면 다음과 같다.
$s\left( \frac{\pi}{3k} \right) = \sin\left( k \cdot \frac{\pi}{3k} \right) = \sin\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ;
$s\left( \frac{5\pi}{6k} \right) = \sin\left( k \cdot \frac{5\pi}{6k} \right) = \sin\left( \frac{5\pi}{6} \right) = \frac{1}{2}$ ;
$s\left( \frac{\pi}{2k} \right) = \sin\left( k \cdot \frac{\pi}{2k} \right) = \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1$ . 따라서 $\left[\frac{\pi}{3k}, \frac{5\pi}{6k}\right]$ 에서 $s$ 의 최댓값은 $s\left( \frac{\pi}{2k} \right) = 1$ 이고 $s$ 의 최솟값은 $s\left( \frac{5\pi}{6k} \right) = \frac{1}{2}$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류