최댓값·최솟값과 최적화 연습문제

1.OpenStax 1권 · 4.3절 · 32번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 정의역에서 함수의 극값 또는 최댓값·최솟값을 구하세요.

구간 $(0,1)$ 에서 $y=\dfrac{1}{x-x^2}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the local and/or absolute extrema for the functions over the specified domain.

$y=\frac{1}{(x-{x}^{2})}$ over $(0,1)$

풀이 보기

분모가 가장 클 때 분수는 가장 작아져요. 그래서 분모 $x-x^2$ 의 최댓값을 찾아도 되고, 도함수가 0인 곳을 찾아도 돼요.

1
분모를 살펴요. $0<x<1$ 에서 $x-x^2=x(1-x)>0$ 이라서 $y>0$ 이에요. 분모를 완전제곱 꼴로 바꾸면 $x-x^2=-\left(x-\tfrac12\right)^2+\tfrac14$ 이므로 $x=\tfrac12$ 일 때 분모가 최대 $\tfrac14$ 예요.
2
함수의 값을 구해요. 분모가 가장 클 때 $y$ 가 가장 작으므로 $x=\tfrac12$ 에서 $y=\dfrac{1}{1/4}=4$ 가 최솟값이에요. (도함수로도 확인해요. $y'=-\dfrac{1-2x}{(x-x^2)^2}$ 이고 $x<\tfrac12$ 에서 음수, $x>\tfrac12$ 에서 양수라서 $x=\tfrac12$ 에서 극소예요.)
3
최댓값이 있는지 봐요. $x\to0^+$ 또는 $x\to1^-$ 이면 분모가 $0$ 에 가까워져 $y\to\infty$ 예요. 값이 한없이 커지므로 최댓값은 없어요.

답

$x=\dfrac12$ 에서 절대(최)솟값 $y=4$ , 최댓값은 없다

자주 하는 실수

열린 구간에서는 끝점을 대입할 수 없어요. 끝으로 갈 때의 극한을 따져 최댓값이 없음을 말해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

Absolute minimum: $x=\frac{1}{2},$ $y=4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 25번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산보통

2.OpenStax 1권 · 4.7절 · 25번우리말 풀이

$x$ 를 어떻게 정해야 두 도형의 넓이의 합이 최대가 되는지 구하세요.

영어 원문 보기

Choose $x$ to maximize the sum of their areas.

답 쓰고 채점

풀이 보기

넓이의 합이 아래로 볼록한 이차함수이면, 최댓값은 구간의 한쪽 끝에서 나와요.

1
원문에는 앞 문제의 조건이 빠져 있어요. 길이 $L$ 인 철사를 두 조각으로 잘라, 한 조각으로는 한 변의 길이가 $x$ 인 정사각형을, 나머지로는 원을 만드는 상황으로 풀어 볼게요. 이때 $x$ 의 범위는 $0\le x\le \frac{L}{4}$ 이에요.
2
먼저 넓이의 합을 $x$ 로 나타내요. 정사각형의 둘레는 $4x$ 이므로 원의 둘레는 $L-4x$ 이고, 반지름은 $r=\frac{L-4x}{2\pi}$ 예요. 그래서 $A(x)=x^2+\pi r^2=x^2+\frac{(L-4x)^2}{4\pi}$
3
최대인 곳을 찾으려면 도함수를 봐요. $A'(x)=2x-\frac{2(L-4x)}{\pi}$ 이고, 한 번 더 미분하면 $A''(x)=2+\frac{8}{\pi}>0$ 이에요. 이계도함수가 항상 양수이므로 그래프는 아래로 볼록해요.
4
아래로 볼록한 함수는 $A'(x)=0$ 인 점에서 최솟값을 가지고, 최댓값은 구간의 양 끝점 중 하나에서 생겨요. 그래서 두 끝점의 값을 비교해요.
5
$x=0$ 이면 철사 전체로 원을 만든 것이라 $A(0)=\frac{L^2}{4\pi}$ 이고, $x=\frac{L}{4}$ 이면 정사각형만 만든 것이라 $A\left(\frac{L}{4}\right)=\frac{L^2}{16}$ 이에요. $\frac{1}{4\pi}>\frac{1}{16}$ 이므로 $A(0)$ 이 더 커요. 따라서 $x=0$ 일 때 넓이의 합이 최대예요.

답

$x=0$

자주 하는 실수

도함수가 0인 점이 곧 최댓값이라고 생각하기 쉬워요. 아래로 볼록하면 그 점은 최솟값이고, 최댓값은 끝점에서 찾아야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

$0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 37번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용보통

3.OpenStax 1권 · 4.7절 · 37번우리말 풀이

[계산기 사용] 직선 $y=5-2x$ 위에서 원점에 가장 가까운 점은 어디인가요?

영어 원문 보기

[T] Where is the line $y=5-2x$ closest to the origin?

답 쓰고 채점

풀이 보기

거리 대신 거리의 제곱을 최소로 만들면 근호 없이 편하게 풀려요.

1
왜 이렇게 할까요? 직선 위의 점은 $(x,\,5-2x)$ 로 쓸 수 있어서 변수가 $x$ 하나뿐이에요. 거리가 최소일 때 거리의 제곱도 최소이므로, 근호가 있는 거리 대신 제곱을 써요.
2
거리의 제곱을 식으로 써요. $D(x)=x^2+(5-2x)^2=5x^2-20x+25$
3
미분해서 0 이 되는 곳을 찾아요. $D'(x)=10x-20=0\;\Longrightarrow\;x=2$
4
최솟값인지 확인해요. $D''(x)=10>0$ 이므로 아래로 볼록한 이차함수라서 $x=2$ 에서 최소예요.
5
점의 좌표를 구해요. $y=5-2\cdot2=1$ 이므로 가장 가까운 점은 $(2,1)$ 이에요.

답

$(2,1)$

자주 하는 실수

거리 $\sqrt{x^2+y^2}$ 을 그대로 미분하느라 식이 복잡해지거나, $x$ 만 구하고 $y$ 좌표를 쓰지 않아요.

원본 교재 풀이(영어)

$(2,1)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 9번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용보통

4.OpenStax 1권 · 4.7절 · 1번우리말 번역

최적화 문제에서 최댓값을 구할 때, 왜 임계점 주변에서 도함수의 부호를 확인해야 하나요?

영어 원문 보기

When you find the maximum for an optimization problem, why do you need to check the sign of the derivative around the critical points?

정답·풀이 보기

임계점은 최솟값이 될 수도, 최댓값이 될 수도, 둘 다 아닐 수도 있기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

The critical points can be the minima, maxima, or neither.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 7번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

5.OpenStax 1권 · 4.7절 · 2번우리말 번역

최적화 문제에서 끝점을 확인해야 하는 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

Why do you need to check the endpoints for optimization problems?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 11번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

6.OpenStax 1권 · 4.7절 · 3번우리말 번역

참 또는 거짓. 모든 연속인 비선형 함수에 대해, 그 함수를 최대로 만드는 값 $x$ 를 찾을 수 있다.

영어 원문 보기

True or False. For every continuous nonlinear function, you can find the value $x$ that maximizes the function.

정답·풀이 보기

거짓이다; $y={x}^{2}$ 은 최솟값만 가진다

원본 교재 풀이(영어)

False; $y={x}^{2}$ has a minimum only

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 35번

# 최댓값·최솟값과 최적화개념 확인자동 분류

7.OpenStax 1권 · 4.7절 · 4번우리말 번역

참 또는 거짓. 닫힌 유한한 정의역에서 연속인 상수가 아닌 모든 함수에 대해, 그 함수를 최소 또는 최대로 만드는 $x$ 가 적어도 하나 존재한다.

영어 원문 보기

True or False. For every continuous nonconstant function on a closed, finite domain, there exists at least one $x$ that minimizes or maximizes the function.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 3번

# 최댓값·최솟값과 최적화개념 확인자동 분류

8.OpenStax 1권 · 4.7절 · 5번우리말 번역

비행기에 여행 가방을 들고 타려면, 상자의 길이 $+\text{width}+$ 높이가 $62\,\text{in}$ . 이하여야 한다. 가방의 밑면이 정사각형이라고 가정할 때, 부피가 $V=h{\left(31-\left(\frac{1}{2}\right)h\right)}^{2}$ . 임을 보이세요. 어떤 높이일 때 부피가 가장 큰지 구하세요.

영어 원문 보기

To carry a suitcase on an airplane, the length $+\text{width}+$ height of the box must be less than or equal to $62\,\text{in}.$ Assuming the base of the suitcase is square, show that the volume is $V=h{\left(31-\left(\frac{1}{2}\right)h\right)}^{2}.$ What height allows you to have the largest volume?

답 쓰고 채점

인치(in)

정답·풀이 보기

$h=\frac{62}{3}$ in.

원본 교재 풀이(영어)

$h=\frac{62}{3}$ in.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 3.6절 · 10번

# 최댓값·최솟값과 최적화증명·논술자동 분류

9.OpenStax 1권 · 4.7절 · 6번우리말 번역

판지로 치수가 $\text{2 m × 4 m}$ 인 상자를 만들려고 합니다. 접을 수 있도록 각 모서리에서 크기가 같은 정사각형을 잘라 냅니다. 부피가 가장 큰 상자의 치수를 구하세요.

높이가 2, 너비가 4인 직사각형이 그려져 있다. 각 모서리에는 한 변의 길이가 x인 정사각형이 표시되어 있다.

영어 원문 보기

You are constructing a cardboard box with the dimensions $\text{2 m by 4 m}.$ You then cut equal-size squares from each corner so you may fold the edges. What are the dimensions of the box with the largest volume?

A rectangle is drawn with height 2 and width 4. Each corner has a square with side length x marked on it.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 35번

# 최댓값·최솟값과 최적화그래프·표 해석자동 분류

10.OpenStax 1권 · 4.7절 · 7번우리말 번역

양의 정수와 그 역수의 합이 최소가 되게 하는 양의 정수를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the positive integer that minimizes the sum of the number and its reciprocal.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$1$

원본 교재 풀이(영어)

$1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 3.6절 · 12번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

11.OpenStax 1권 · 4.7절 · 8번우리말 번역

합이 $10$ 이고 제곱의 합이 가능한 한 크도록 하는 두 양의 정수를 구하세요. 그런 다음, 합이 10 이고 제곱의 합이 가능한 한 작도록 하는 또 다른 두 양의 정수를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the two positive integers so that their sum is $10$ and the sum of their squares is as large as possible. Then find another two positive integers so that their sum is 10 and the sum of their squares is as small as possible.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 29번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

12.OpenStax 1권 · 4.7절 · 9번우리말 번역

소를 가두는 직사각형 우리를 만들기 위한 울타리가 $400\,\text{ft}$ 있습니다. 넓이가 최대가 되도록 하는 우리의 가로와 세로의 길이는 각각 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

You have $400\,\text{ft}$ of fencing to construct a rectangular pen for cattle. What are the dimensions of the pen that maximize the area?

정답·풀이 보기

$100\,\text{ft by}\,100\,\text{ft}$

원본 교재 풀이(영어)

$100\,\text{ft by}\,100\,\text{ft}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 1번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

13.OpenStax 1권 · 4.7절 · 10번우리말 번역

돼지를 가두는 우리를 만들기 위한 울타리가 $800\,\text{ft}$ 있습니다. 땅의 한쪽 면이 강에 접해 있을 때, 넓이가 최대가 되도록 하는 직사각형 우리의 가로와 세로의 길이는 각각 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

You have $800\,\text{ft}$ of fencing to make a pen for hogs. If you have a river on one side of your property, what is the dimension of the rectangular pen that maximizes the area?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 9번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

14.OpenStax 1권 · 4.7절 · 11번우리말 번역

넓이가 $1600\,{\text{ft}}^{2}$ 인 영역의 둘레에 울타리를 만들어야 합니다. 필요한 재료의 양이 최소가 되도록 하는 직사각형 우리의 가로와 세로의 길이는 각각 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

You need to construct a fence around an area of $1600\,{\text{ft}}^{2}.$ What are the dimensions of the rectangular pen to minimize the amount of material needed?

정답·풀이 보기

$40\,\text{ft by}\,40\,\text{ft}$

원본 교재 풀이(영어)

$40\,\text{ft by}\,40\,\text{ft}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 13번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류

15.OpenStax 1권 · 4.7절 · 12번우리말 번역

전선으로 연결된 두 기둥이 있고, 이 전선은 지면에도 연결되어 있습니다. 첫 번째 기둥의 높이는 $20\,\text{ft}$ 이고 두 번째 기둥의 높이는 $10\,\text{ft}$ 입니다. 두 기둥 사이의 거리는 $30\,\text{ft}$ 입니다. 필요한 전선의 양을 최소로 하려면 전선을 지면의 어느 곳에 고정해야 하나요?

두 개의 기둥이 그려져 있는데, 하나는 높이가 10이고 다른 하나는 높이가 20이다. 더 짧은 기둥을 이용하여 직각삼각형이 만들어지며, 다른 한 변의 길이는 x 이다. 두 기둥 사이의 거리는 30이다.

영어 원문 보기

Two poles are connected by a wire that is also connected to the ground. The first pole is $20\,\text{ft}$ tall and the second pole is $10\,\text{ft}$ tall. There is a distance of $30\,\text{ft}$ between the two poles. Where should the wire be anchored to the ground to minimize the amount of wire needed?

Two poles are shown, one that is 10 tall and the other is 20 tall. A right triangle is made with the shorter pole with other side length x. The distance between the two poles is 30.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 25번

# 최댓값·최솟값과 최적화그래프·표 해석자동 분류

16.OpenStax 1권 · 4.7절 · 13번우리말 번역

[계산기 사용] 새 아파트로 이사를 하는데, 복도가 $\text{8 ft에서 6 ft로}$ 좁아지는 모퉁이가 있습니다. 이 모퉁이를 수평으로 돌아 운반할 수 있는 가장 긴 물건의 길이는 얼마입니까?

거꾸로 된 L자 모양의 도형이 그려져 있다. _ 부분의 폭은 6이고 | 부분의 폭은 8이다. _ 부분에서 | 부분까지 선이 그어져 있는데, 이 선은 도형의 안쪽 모서리에 닿아 직각삼각형의 빗변을 이룬다. 이 직각삼각형의 나머지 두 변은 _ 부분과 | 부분의 나머지 부분이다. 이 선에는 L이라고 표시되어 있다.

영어 원문 보기

[T] You are moving into a new apartment and notice there is a corner where the hallway narrows from $\text{8 ft to 6 ft}.$ What is the length of the longest item that can be carried horizontally around the corner?

An upside L-shaped figure is drawn with the _ part being 6 wide and the | part being 8 wide. There is a line drawn from the _ part to the | part that touches the near corner of the shape to form a hypotenuse for a right triangle the other sides being the the rest of the _ and | parts. This line is marked L.

정답·풀이 보기

$19.73\,\text{ft}.$

원본 교재 풀이(영어)

$19.73\,\text{ft}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 19번

# 최댓값·최솟값과 최적화그래프·표 해석자동 분류

17.OpenStax 1권 · 4.7절 · 14번우리말 번역

환자의 맥박을 측정했더니 $\text{70 bpm, 80 bpm, 그다음 120 bpm}$ 이었습니다. 정확한 맥박 측정값을 정하기 위해, 의사는 식 ${(x-70)}^{2}+{(x-80)}^{2}+{(x-120)}^{2}$ 을 최소로 만드는 값이 무엇인지 알고 싶어 합니다. 어떤 값이 이 식을 최소로 만드는지 구하세요.

영어 원문 보기

A patient’s pulse measures $\text{70 bpm, 80 bpm, then 120 bpm}.$ To determine an accurate measurement of pulse, the doctor wants to know what value minimizes the expression ${(x-70)}^{2}+{(x-80)}^{2}+{(x-120)}^{2}?$ What value minimizes it?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 11번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

18.OpenStax 1권 · 4.7절 · 15번우리말 번역

앞의 문제에서 환자가 세 번째 측정 때 긴장했다고 가정하여, 그 값에는 다른 값들의 절반만큼만 가중치를 둡니다. 식 ${(x-70)}^{2}+{(x-80)}^{2}+\frac{1}{2}{(x-120)}^{2}?$ 을 최소로 하는 값은 무엇인가요?

영어 원문 보기

In the previous problem, assume the patient was nervous during the third measurement, so we only weight that value half as much as the others. What is the value that minimizes ${(x-70)}^{2}+{(x-80)}^{2}+\frac{1}{2}{(x-120)}^{2}?$

답 쓰고 채점

회/분

정답·풀이 보기

$84\,\text{bpm}$

원본 교재 풀이(영어)

$84\,\text{bpm}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 3.6절 · 12번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

19.OpenStax 1권 · 4.7절 · 16번우리말 번역

여러분은 시속 $6$ 마일의 속력으로 달릴 수 있고 시속 $3$ 마일의 속력으로 헤엄칠 수 있습니다. 여러분은 해안가에 있으며, 해안선에서 북쪽으로 $1$ 마일 떨어진 섬의 동쪽 $4$ 마일 지점에 있습니다. 섬에 도달하는 데 걸리는 시간을 최소로 하려면 서쪽으로 얼마나 달려야 하는지 구하세요.

높이가 1이고 길이가 4인 직사각형이 그려져 있다. 오른쪽 아래 모서리에는 "여러분"이라고, 왼쪽 위 모서리에는 "섬"이라고 표시되어 있다.

영어 원문 보기

You can run at a speed of $6$ mph and swim at a speed of $3$ mph and are located on the shore, $4$ miles east of an island that is $1$ mile north of the shoreline. How far should you run west to minimize the time needed to reach the island?

A rectangle is drawn that has height 1 and length 4. In the lower right corner, it is marked “You” and in the upper left corner it is marked “Island.”

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 3번

# 최댓값·최솟값과 최적화그래프·표 해석자동 분류

20.OpenStax 1권 · 4.7절 · 18번우리말 번역

인명구조원이 물에 빠진 사람에게 가장 짧은 시간에 도달하려면 어떤 각도 $\theta$ 로 수영해야 하는지 구하세요.

영어 원문 보기

Find at what angle $\theta$ the lifeguard should swim to reach the drowning person in the least amount of time.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.5절 · 2번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류