최댓값·최솟값과 최적화 연습문제 — Active Calculus · 3.6절 · 10번

Active Calculus · 3.6절 · 10번우리말 번역

한 농부가 소, 말, 염소, 양을 기르기 시작하려 하며, 동물들이 풀을 뜯을 직사각형 목초지를 갖고 싶어 합니다. 그러나 서로 다른 종류의 동물은 함께 풀을 뜯을 수 없습니다. 농부는 필요한 울타리의 양을 최소로 하기 위해, 큰 직사각형 영역을 울타리로 두른 다음, 이미 있는 두 변에 평행한 울타리 세 개를 큰 직사각형 안쪽에 추가하여 이를 크기가 같은 네 개의 우리로 나누기로 했습니다. 농부는 울타리 7500 ft 를 구입하기로 했습니다. 네 개의 우리 각각이 둘러쌀 수 있는 최대 넓이는 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

A farmer wants to start raising cows, horses, goats, and sheep, and desires to have a rectangular pasture for the animals to graze in. However, no two different kinds of animals can graze together. In order to minimize the amount of fencing she will need, she has decided to enclose a large rectangular area and then divide it into four equally sized pens by adding three segments of fence inside the large rectangle that are parallel to two existing sides. She has decided to purchase 7500 ft of fencing. What is the maximum possible area that each of the four pens will enclose?

정답·풀이 보기

농부는 길이 $x$ 와 너비 $y$ 를 아직 모르는 직사각형 영역에 울타리를 칠 것이다. 직사각형 영역 전체의 넓이는 넓이가 같은 직사각형 4개로 이루어진다. 아래 그림과 같이 이렇게 나누는 방법은 두 가지이다(다만 문제의 설정을 명시적으로 따르는 것은 왼쪽 그림뿐이다).

더 큰 직사각형 안에 직사각형 우리를 배치하는 두 가지 가능한 방법이다. 왼쪽은 세로 변이 y, 가로 변이 x인 큰 직사각형이며, 가로 변이 같은 크기의 네 부분으로 나뉘어 있다.

우리는 작은 직사각형 영역 각각의 넓이를 최대로 하려고 한다. 이는 전체 직사각형 영역의 넓이 $A = xy$ 를 최대로 하는 것과 같다. $A$ 에는 변수가 두 개 있으므로 아직 미적분 기법을 바로 적용할 수 없다. 울타리의 양에 관한 정보를 이용하여 $x$ 와 $y$ 의 관계를 세우고, $A$ 를 변수 하나만으로 나타낸다.

그림의 왼쪽 울타리 방식의 경우, 네 개의 방목지를 둘러싸는 데 필요한 울타리의 총량은 $2x+5y$ 이다. 울타리 $7500$ 피트를 모두 사용한다고 가정하므로 $2x+5y=7500$ 이다. $x$ 에 대해 풀면 $x = 3750 - 2.5y$ 이다. 이 식을 넓이 공식의 $x$ 에 대입하면 $A$ 를 $y$ 만으로 나타낼 수 있다.

$A(y) = (3750-2.5y)y = 3750y - 2.5y^2\,.$ 어떤 영역을 둘러싸려면 당연히 $y > 0$ 이고 $x > 0$ 이어야 하며, $x = 3750 - 2.5y$ 이므로 $2.5y < 3750$ 이어야 하고 따라서 $y < 1500$ 이다. 이 정의역에서 $A$ 의 최댓값을 구하기 위해 $A$ 의 임계점을 구한다. $A'(y) = 3750 - 5y$ 이므로 $A'(y) = 0$ 인 것은 $y = 750$ 일 때, 그리고 그때뿐이다. $0 < y < 750$ 에서는 $A'(y) > 0$ 이고 $750 < y < 1500$ 에서는 $A'(y) < 0$ 이다. 따라서 $A(750) = 1406250$ 제곱피트가 $A$ 의 최댓값이다. 네 개의 우리 각각이 둘러쌀 수 있는 최대 넓이는 전체의 4분의 1, 즉 $351562.5$ 제곱피트이다.

그림의 오른쪽 울타리 방식의 경우, 네 개의 방목지를 둘러싸는 데 필요한 울타리의 총량은 $3x+3y$ 이다. 울타리 $7500$ 피트를 모두 사용한다고 가정하므로 $3x + 3y = 7500$ 이다. $x$ 에 대해 풀어 $A$ 에 대입하면 $x = 2500 - y$ 이고

$A(y) = (2500-y)y = 2500y - y^2\,.$ 어떤 영역을 둘러싸려면 당연히 $y > 0$ 이고 $x > 0$ 이어야 하며, $x = 2500 - y$ 이므로 $y < 2500$ 이어야 한다. 이 정의역에서 $A$ 의 최댓값을 구하기 위해 $A$ 의 임계점을 구한다. $A'(y) = 2500 - 2y$ 이므로 $A'(y) = 0$ 인 것은 $y = 1250$ 일 때, 그리고 그때뿐이다. $0 < y < 1250$ 에서는 $A'(y) > 0$ 이고 $1250 < y < 2500$ 에서는 $A'(y) < 0$ 이다. 따라서 $A(1250) = 1406250$ 제곱피트가 $A$ 의 최댓값이다. 네 개의 우리 각각이 둘러쌀 수 있는 최대 넓이는 전체의 4분의 1, 즉 $390625$ 제곱피트이다.

따라서 네 개의 우리 각각이 둘러쌀 수 있는 최대 넓이는 390625 제곱피트이며, 오른쪽 방식이 왼쪽 방식보다 더 최적임을 알 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The farmer will fence a rectangular area whose length $x$ and width $y$ are unknown. The total area of the rectangular area is composed of 4 equal area rectangles. There are two ways to do this as shown in the figure below (though only the one on the left explicitly follows the way the problem is framed).

Two possible arrangements of rectangular pens within a larger rectangle. At left, a larger rectangle with vertical side y and horizontal side x where the horizontal side is subdivided into four equal

We want to maximize the area of each subrectangular region, which is the same as maximizing the total area $A = xy$ of the entire rectangular region. Since $A$ has two variables, we can't yet directly apply calculus techniques to it. We use the information about the amount of fencing to relate $x$ and $y$ in order to write $A$ in terms of just one variable.

In the case of the fencing option on the left in the figure, the total amount of fencing that is needed to enclose the four grazing areas is $2x+5y$ . We assume that all of the $7500$ feet of fencing will be used, so $2x+5y=7500$ . Solving for $x$ , $x = 3750 - 2.5y$ . Substituting this expression for $x$ into the area formula allows us to write $A$ in terms of $y$ alone:

$A(y) = (3750-2.5y)y = 3750y - 2.5y^2\,.$ To enclose any area, we of course must have $y > 0$ and $x > 0$ , and since $x = 3750 - 2.5y$ , it follows that we need to have $2.5y < 3750$ so $y < 1500$ . To find the maximum value of $A$ on this domain, we find the critical numbers of $A$ . Since $A'(y) = 3750 - 5y$ , we see that $A'(y) = 0$ when and only when $y = 750$ . For $0 < y < 750$ , we see that $A'(y) > 0$ and for $750 < y < 1500$ we have $A'(y) < 0$ . So $A(750) = 1406250$ square feet is the absolute maximum value of $A$ . The maximum possible area that each of the four pens can enclose is one quarter of the total, or $351562.5$ square feet.

In the case of the fencing option on the right in the figure, the total amount of fencing that is needed to enclose the four grazing areas is $3x+3y$ . We assume that all of the $7500$ feet of fencing will be used, so $3x + 3y = 7500$ . Solving for $x$ and substituting into $A$ , we find $x = 2500 - y$ and

$A(y) = (2500-y)y = 2500y - y^2\,.$ To enclose any area, we of course must have $y > 0$ and $x > 0$ , and since $x = 2500 - y$ , it follows that we need to have $y < 2500$ . To find the maximum value of $A$ on this domain, we find the critical numbers of $A$ . Since $A'(y) = 2500 - 2y$ , we see that $A'(y) = 0$ when and only when $y = 1250$ . For $0 < y < 1250$ , we see that $A'(y) > 0$ and for $1250 < y < 2500$ we have $A'(y) < 0$ . So $A(1250) = 1406250$ square feet is the absolute maximum value of $A$ . The maximum possible area that each of the four pens can enclose is one quarter of the total, or $390625$ square feet.

So the maximum possible area that each of the four pens can enclose is 390625 square feet, and we see that the righthand alternative is even more optimal than the left one.

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 3.6절 · 9번우리말 번역

정사각형 밑면과 닫힌 윗면을 가진 직육면체 상자를 두 가지 재료로 만들려고 합니다. 옆면의 재료는 제곱피트당 $1.50이고, 윗면과 밑면의 재료는 제곱피트당 $3.00입니다. 상자에 $15를 쓸 수 있다면, 상자에 담을 수 있는 가장 큰 부피는 얼마입니까? 미적분을 사용하여 답을 완전히 정당화하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$x$ 를 정사각형 밑면의 한 변의 길이, $h$ 를 옆면의 높이라고 하자. 먼저 상자의 부피 $V$ 는 $V = x^2 h$ 이고, 상자의 겉넓이는 $S = 2x^2 + 4xh$ 임에 주목한다. 넓이가 $x^2$ 인 정사각형 면이 두 개(밑면과 윗면) 있고, 넓이가 $xh$ 인 똑같은 옆면이 네 개 있기 때문이다. 윗면과 밑면의 재료는 제곱피트당 $3.00이고 옆면의 재료는 제곱피트당 $1.50이므로, 겉넓이가 $S$ 인 상자의 총비용은

$C = 3.00 (2x^2) + 1.50 (4xh) = 6x^2 + 6xh\,$

이다.

우리는 $15를 들여 만들 수 있는 부피가 가장 큰 상자에 관심이 있다. 이 비용 조건에 의해

$15 = 6x^2 + 6xh\,$ 이고, 이를 $h$ 에 대해 풀면 $h$ 를 $x$ 의 함수로 나타낼 수 있다. 그렇게 하면 $6xh = 15 - 6x^2$ 이므로

$h = \frac{15-6x^2}{6x}\,$

이다. 이 관계를 이용하면 상자의 부피 $V$ 를 변수 $x$ 하나의 함수로 나타낼 수 있다. $h$ 의 식을 대입하면

$V = x^2 h = x^2 \cdot \frac{15-6x^2}{6x} = \frac{1}{6}x(15 - 6x^2) = \frac{15}{6}x - x^3\,$

이다. 특히 상자가 만들어지려면 $x > 0$ 이고 $h > 0$ 이어야 함에 유의한다. 뒤의 조건과 $h = \frac{15-6x^2}{6x}$ 로부터 $15 - 6x^2 > 0$ 이어야 하므로 $x^2 < \frac{15}{6}$ , 즉 $x < \sqrt{\frac{15}{6}}$ 이다. 따라서 $V(x)$ 의 정의역은 $0 < x < \sqrt{\frac{15}{6}}$ 이다.

$x \to 0^+$ 또는 $x \to \sqrt{\frac{15}{6}}^-$ 일 때 상자는 사라지고(부피는 0에 가까워지고), 따라서 최댓값은 이 두 값 사이의 임계수에서 나타나야 함이 분명하다. $V$ 를 미분하면 $V'(x) = \frac{15}{6} - 3x^2$ 이다. 정의역에서 $V$ 의 모든 임계수를 찾기 위해 $V'(x) = 0$ 을 풀면 $x^2 = \frac{15}{18}$ 이고, 따라서 $x = \pm \sqrt{\frac{15}{18}}$ 이므로 $0 < x < \sqrt{\frac{15}{6}}$ 에 속하는 임계수는 $x = \sqrt{\frac{15}{18}}$ 뿐이다. 최솟값 $V = 0$ 이 양 끝점에서 나타나므로, 최댓값은 $V\left( \sqrt{\frac{15}{18}} \right) = \frac{15}{6}\left( \sqrt{\frac{15}{18}} \right) - \left( \sqrt{\frac{15}{18}} \right)^3 \approx 1.52145$ 세제곱피트이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류