최댓값·최솟값과 최적화 연습문제 — Active Calculus · 3.6절 · 12번

Active Calculus · 3.6절 · 12번우리말 번역

한 회사가 양 끝이 반구 모양인 원기둥 모양의 프로판 탱크를 설계하고 있다. 이 회사는 탱크에 1000세제곱피트의 가스가 들어가도록 하려 하며, 양 끝 부분은 만드는 데 더 비싸서 제곱피트당 $5가 들고, 양 끝 사이의 원기둥 몸통 부분은 제곱피트당 $2가 든다고 가정하자. 미적분을 이용하여 이러한 탱크를 만드는 데 드는 최소 비용을 구하세요.

영어 원문 보기

A company is designing propane tanks that are cylindrical with hemispherical ends. Assume that the company wants tanks that will hold 1000 cubic feet of gas, and that the ends are more expensive to make, costing $5 per square foot, while the cylindrical barrel between the ends costs $2 per square foot. Use calculus to determine the minimum cost to construct such a tank.

정답·풀이 보기

탱크의 원기둥 부분의 길이를 $h$ , 원기둥의 반지름을 $r$ 라 하자. 그러면 탱크 양 끝의 반구의 반지름도 $r$ 이다. 먼저 원기둥 부분과 반구 부분을 살펴 탱크의 부피와 겉넓이에 대한 식을 구한다.

탱크의 원기둥 부분의 부피는 $V_c = \pi r^2 h$ 이고, 옆면의 넓이는 $A_c = 2\pi r h$ 이다(이는 원기둥 밑면의 둘레에 원기둥의 높이를 곱한 값이다 -- 원기둥을 펼치면 직사각형이 되는 것을 생각해 보자). 두 반구 모양의 끝 부분을 합치면 완전한 구가 되며, 구의 부피는 $V_s = \frac{4}{3} \pi r^3$ 이고 구의 겉넓이는 $A_s = 4 \pi r^2$ 이다.

따라서 탱크 전체의 부피는

$V = V_c + V_s = \pi r^2 h + \frac{4}{3} \pi r^3\,,$ 이고, 전체 겉넓이는

$A = A_c + A_s = 2\pi r h + 4 \pi r^2\,.$ 또한 원기둥 옆면과 반구 모양의 끝 부분의 재료 비용이 서로 다른 것을 고려하면, 탱크의 총비용은

$C = 2(2\pi r h) + 5(4 \pi r^2) = 4 \pi r h + 20 \pi r^2\,.$

우리의 목표는 탱크의 부피가 1000세제곱미터가 되도록 하는 조건에서 탱크의 총비용을 최소로 하는 것이다. 이 조건에서 방정식 $1000 = \pi r^2 h + \frac{4}{3} \pi r^3$ 을 얻고, 이를 $h$ 에 대해 풀면 $\pi r^2 h = 1000 - \frac{4}{3} \pi r^3$ 이므로

$h = \frac{1000 - \frac{4}{3} \pi r^3}{\pi r^2}\,.$ 이제 $h$ 에 대한 이 식을 앞에서 구한 비용의 식에 대입하면 비용을 하나의 변수 $r$ 의 함수로 나타낼 수 있다. 즉,

$C(r) = 4 \pi r \frac{1000 - \frac{4}{3} \pi r^3}{\pi r^2} + 20 \pi r^2 = 4 \frac{1000 - \frac{4}{3} \pi r^3}{r} + 20\pi r^2$

더 간단히 하면

$C(r) = \frac{4000}{r} - \frac{16}{3}\pi r^2 + 20 \pi r^2 = \frac{4000}{r} + \frac{44 \pi}{3}r^2\,.$ 문제의 물리적 조건에 따라 $r > 0$ 이고 $h > 0$ 인 값만 생각한다. $h = \frac{1000 - \frac{4}{3} \pi r^3}{\pi r^2}$ 이므로

$\frac{4}{3} \pi r^3 < 1000$

이어야 하고, 따라서 $r^3 < \frac{3}{4 \pi} \cdot 1000 = 750$ 이며, 그러므로 $r < \sqrt[3]{\frac{750}{\pi}} \approx 6.2035$ 이다. 이제 구간 $0 < r < \sqrt[3]{\frac{750}{\pi}}$ 에서 $C(r)$ 을 최소로 만드는 값을 찾는다.

$C$ 의 도함수를 구하면 $C'(r) = -\frac{4000}{r^2} + \frac{88 \pi}{3}r$ 이다. $C'(r) = 0$ 으로 놓으면

$\frac{4000}{r^2} = \frac{88 \pi}{3}r$

이고, 따라서

$4000 \cdot \frac{3}{88 \pi} = r^3\,.$ 그러므로 $r^3 = \frac{1500}{11 \pi}$ 이고, $r = \sqrt[3]{\frac{1500}{11 \pi}} \approx 3.5144$ 가 $C$ 의 유일한 임계수이다. 이 값은 구간 $0 < r < \sqrt[3]{\frac{750}{\pi}} \approx 6.2035$ 안에 있음을 확인하자.

구간 $0 < r < \sqrt[3]{\frac{750}{\pi}}$ 에서 도함수 $y = C'(r)$ 의 그래프를 그려 보면, $0 < r < 3.5144$ 에서는 $C'(r) < 0$ 이고 $3.5144 < r < 6.2035$ 에서는 $C'(r) > 0$ 이다. 이는 $C$ 가 임계수 이전에는 감소하고 임계수 이후에는 증가함을 보여 주므로, $C$ 는 $C(\sqrt[3]{\frac{1500}{11 \pi}}) \approx 1707.27$ 에서 최솟값을 가진다. 따라서 주어진 조건에서 원하는 탱크를 만드는 데 드는 최소 비용은 $1707.27이다.

원본 교재 풀이(영어)

We let the length of the cylindrical part of the tank be $h$ with the radius of the cylinder given by $r$ . It follows that the radius of the hemispherical ends of the tank is also $r$ . We first identify formulas for both the volume and surface area of the tank by looking at the cylindrical and hemispherical pieces.

The cylindrical part of the tank has volume $V_c = \pi r^2 h$ , and the surface area of its sides is $A_c = 2\pi r h$ (which is the circumference of the cylinder's base times the cylinder's height -- think about how a cylinder unfurls to form a rectangle). The two hemispherical ends together constitute a full sphere, and the volume of a sphere is $V_s = \frac{4}{3} \pi r^3$ , while the surface area of a sphere is $A_s = 4 \pi r^2$ .

The overall volume of the tank is therefore

$V = V_c + V_s = \pi r^2 h + \frac{4}{3} \pi r^3\,,$ and its total surface area is

$A = A_c + A_s = 2\pi r h + 4 \pi r^2\,.$ Moreover, taking into account the different costs of material for the cylindrical sides and hemispherical ends, we find that the total cost of the tank is

$C = 2(2\pi r h) + 5(4 \pi r^2) = 4 \pi r h + 20 \pi r^2\,.$

Our goal is to minimize the total cost of the tank given that we want it to hold 1000 cubic meters of volume. From this constraint, we have the equation $1000 = \pi r^2 h + \frac{4}{3} \pi r^3$ , which we can solve for $h$ to get $\pi r^2 h = 1000 - \frac{4}{3} \pi r^3$ , so

$h = \frac{1000 - \frac{4}{3} \pi r^3}{\pi r^2}\,.$ This allows us to now write cost as a function of the single variable $r$ by substituting the expression for $h$ into the earlier formula we found for cost. In particular,

$C(r) = 4 \pi r \frac{1000 - \frac{4}{3} \pi r^3}{\pi r^2} + 20 \pi r^2 = 4 \frac{1000 - \frac{4}{3} \pi r^3}{r} + 20\pi r^2$

Simplifying further, we have found that

$C(r) = \frac{4000}{r} - \frac{16}{3}\pi r^2 + 20 \pi r^2 = \frac{4000}{r} + \frac{44 \pi}{3}r^2\,.$ Based on the physical constraints of the problem, we obviously will only consider values of $r > 0$ and $h > 0$ . Since $h = \frac{1000 - \frac{4}{3} \pi r^3}{\pi r^2}$ , we must have

$\frac{4}{3} \pi r^3 < 1000$

so $r^3 < \frac{3}{4 \pi} \cdot 1000 = 750$ , and thus $r < \sqrt[3]{\frac{750}{\pi}} \approx 6.2035$ . We now work to minimize $C(r)$ on the interval $0 < r < \sqrt[3]{\frac{750}{\pi}}$ .

Taking the derivative of $C$ , we find that $C'(r) = -\frac{4000}{r^2} + \frac{88 \pi}{3}r$ . Setting $C'(r) = 0$ , it follows that

$\frac{4000}{r^2} = \frac{88 \pi}{3}r$

and thus

$4000 \cdot \frac{3}{88 \pi} = r^3\,.$ Therefore, $r^3 = \frac{1500}{11 \pi}$ , so $r = \sqrt[3]{\frac{1500}{11 \pi}} \approx 3.5144$ is the only critical number of $C$ ; observe that it lies within the interval $0 < r < \sqrt[3]{\frac{750}{\pi}} \approx 6.2035$ .

If we plot the derivative function, $y = C'(r)$ , on the interval $0 < r < \sqrt[3]{\frac{750}{\pi}}$ , we see that for $0 < r < 3.5144$ , $C'(r) < 0$ , and for $3.5144 < r < 6.2035$ , $C'(r) > 0$ , which shows that $C$ is decreasing before the critical number and increasing after the critical number, and hence $C$ has a global minimum of $C(\sqrt[3]{\frac{1500}{11 \pi}}) \approx 1707.27$ , so $1707.27 is the minimum cost to build the desired tank under the given constraints.

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 3.6절 · 11번우리말 번역

높이가 각각 60 ft, 80 ft인 두 수직 기둥이 평평한 땅 위에 밑면 사이의 거리 100 ft를 두고 서 있습니다. 케이블을 한 기둥의 꼭대기에서 두 기둥 사이의 땅 위의 한 점까지 늘인 다음, 다시 다른 기둥의 꼭대기까지 늘입니다. 필요한 케이블 길이의 가능한 최솟값은 얼마인가요? 미적분을 이용하여 답을 완전하게 정당화하세요.

다 풀었으면 정답 확인

먼저 전체 상황을 정확하게 그림으로 나타낸다. 케이블이 땅에 닿는 점이 첫 번째 기둥에서 떨어진 거리를 $x$ , 첫 번째 기둥 꼭대기에서 땅까지의 케이블 길이를 $y$ , 땅에서 두 번째 기둥 꼭대기까지의 케이블 길이를 $z$ 라 하자. 다음 그림과 같다. 주어진 기둥의 높이와 기둥 사이의 거리도 함께 나타내었다.

높이가 60과 80인 두 수직 기둥이 100피트 떨어져 있는 그림이다. 두 기둥 사이의 수평 선분 위에 첫 번째 기둥 꼭대기에서 내려온 케이블이 닿는 위치가 x로 표시되어 있다.

사용되는 케이블의 전체 길이 $L$ (이것을 최소로 하려 한다)은 $L = y + z$ 이다. 이 상황의 기하적 관계를 이용하여 $y$ 와 $z$ 를 모두 $x$ 로 나타낼 수 있다. 첫 번째 직각삼각형에서 피타고라스 정리에 의해 $x^2 + 60^2 = y^2$ 이므로 $y = \sqrt{x^2 + 3600}$ 이다. 두 번째 직각삼각형에서 가로 변의 길이는 $100-x$ 이므로 $(100-x)^2 + 80^2 = z^2$ 이고, 따라서 $z = \sqrt{(100-x)^2 + 6400}$ 이다. 그러므로 $L = y + z$ 에서

$L(x) = \sqrt{x^2 + 3600} + \sqrt{6400 + (100-x)^2}\,.$ 또한 주어진 상황에서 $L$ 의 정의역은 $0 \le x \le 100$ 임이 분명하다. 이 닫힌구간에서 $L$ 의 최솟값을 구하려 하므로, $L$ 의 임계점을 찾는 일이 남아 있다.

연쇄 법칙에 의해

$L'(x) = \frac{2x}{2(x^2+3600)^{1/2}} + \frac{-2(100-x)}{2((100-x)^2 + 6400)^{1/2}}$

이다.

계산 도구를 사용하여 방정식 $L'(x) = 0$ 을 풀면, 구간 $0 \le x \le 100$ 에서 해는 $x \approx 42.85714$ 하나뿐이다.

정의역에서 $L$ 의 최솟값을 구하기 위해 양 끝점과 유일한 임계점에서 $L$ 의 값을 구한다. 계산하면 $L(0) \approx 188.062$ , $L(100) \approx 196.619$ , $L(42.85714) \approx 172.047$ 이다. 따라서 사용할 수 있는 케이블의 최소 길이는 약 $172.047$ 피트이며, 케이블을 첫 번째 기둥에서 약 $42.85714$ 피트 떨어진 곳에 고정할 때 이루어진다.

이 문제로 이어서 풀기

# 최댓값·최솟값과 최적화활용자동 분류