미적분의 기본정리 연습문제 — Active Calculus · 4.4절 · 13번

Active Calculus · 4.4절 · 13번우리말 번역

항공기가 가능한 한 빠르게 상승하려고 할 때, 높은 고도일수록 공기가 희박하기 때문에 상승률(단위: 피트/분)은 고도가 높아짐에 따라 감소합니다. 아래는 어떤 단발 엔진 항공기의 성능 자료를 나타낸 표로, 여러 고도에서의 상승률을 보여 줍니다. 여기서 $c(h)$ 는 고도 $h$ 에서의 비행기의 상승률을 나타냅니다.

$h$ (피트)	$0$	$1000$	$2000$	$3000$	$4000$	$5000$	$6000$	$7000$	$8000$	$9000$	$10{,}000$
$c$ (피트/분)	$925$	$875$	$830$	$780$	$730$	$685$	$635$	$585$	$535$	$490$	$440$

고도 $h$ 에 있는 비행기가 다음 1피트를 더 상승하는 데 필요한 시간(분)을 나타내는 새로운 함수 $m(h)$ 를 생각하세요.

(a) $m(h)$ 에 대한 비슷한 값의 표를 만들고, 이 표가 위의 표와 어떤 관계가 있는지 설명하세요. 단위도 반드시 설명하세요. (b) 도함수가 $m(h)$ 인 함수를 정확하게 해석하세요. 입력은 무엇이고 출력은 무엇인지 설명하세요. 또한 이 함수가 우리에게 알려 주는 것이 무엇인지 쉬운 말로 설명하세요. (c) 그 값이 비행기가 고도 10,000피트까지 상승하는 데 필요한 시간(분)을 정확히 알려 주는 정적분을 구하세요. 이 정적분의 값이 왜 그러한 의미를 갖는지 분명하게 설명하세요. (d) 리만 합 $M_5$ 를 이용하여 (c)에서 구한 정적분의 값을 어림하세요. 결과에 단위를 포함하세요.

영어 원문 보기

When an aircraft attempts to climb as rapidly as possible, its climb rate (in feet per minute) decreases as altitude increases, because the air is less dense at higher altitudes. Given below is a table showing performance data for a certain single engine aircraft, giving its climb rate at various altitudes, where $c(h)$ denotes the climb rate of the airplane at an altitude $h$ .

$h$ (feet)	$0$	$1000$	$2000$	$3000$	$4000$	$5000$	$6000$	$7000$	$8000$	$9000$	$10{,}000$
$c$ (ft/min)	$925$	$875$	$830$	$780$	$730$	$685$	$635$	$585$	$535$	$490$	$440$

Let a new function called $m(h)$ measure the number of minutes required for a plane at altitude $h$ to climb the next foot of altitude.

(a) Determine a similar table of values for $m(h)$ and explain how it is related to the table above. Be sure to explain the units. (b) Give a careful interpretation of a function whose derivative is $m(h)$ . Describe what the input is and what the output is. Also, explain in plain English what the function tells us. (c) Determine a definite integral whose value tells us exactly the number of minutes required for the airplane to ascend to 10,000 feet of altitude. Clearly explain why the value of this integral has the required meaning. (d) Use the Riemann sum $M_5$ to estimate the value of the integral you found in (c). Include units on your result.

정답·풀이 보기

(a) 주어진 상승률 $c(h)$ 의 단위는 피트/분이고, 새 함수 $m(h)$ 의 단위는 분/피트이므로 $m(h)$ 는 $c(h)$ 의 역수이다. 즉 $m(h) = \frac{1}{c(h)}$ 이다. 따라서 다음과 같이 보완된 표를 얻는다.

$h$ (피트)	$0$	$1000$	$2000$	$3000$	$4000$	$5000$	$6000$	$7000$	$8000$	$9000$	$10{,}000$
$c$ (피트/분)	$925$	$875$	$830$	$780$	$730$	$685$	$635$	$585$	$535$	$490$	$440$
$m$ (분/피트)	$\frac{1}{925}$	$\frac{1}{875}$	$\frac{1}{830}$	$\frac{1}{780}$	$\frac{1}{730}$	$\frac{1}{685}$	$\frac{1}{635}$	$\frac{1}{585}$	$\frac{1}{535}$	$\frac{1}{490}$	$\frac{1}{440}$
(b) 어떤 함수가 주어졌을 때, 그 도함수의 단위는 “입력 단위당 출력 단위”임을 알고 있다. $m(h)$ 의 단위가 “분/피트”이고 입력 단위가 “피트”이므로, $m(h)$ 의 원시함수의 출력 단위는 “분”이어야 한다. 따라서 이 원시함수는 비행기가 $h$ 피트의 고도까지 상승하는 데 걸리는 총 시간(분)을 알려 준다.
(c) 비행기가 $10{,}000$ 피트의 고도까지 상승하는 데 필요한 시간(분)은 다음 정적분으로 주어진다.
$M = \int_{0}^{10000} m(h) \, dh$
이는 $m(h)$ 의 단위가 “분/피트”이고 대응하는 리만 합에서 $\triangle h$ 의 단위가 “피트”이므로, 이 단위를 가진 양들의 곱은 분 단위로 측정되는 수치가 되기 때문이다.
(d) 리만 합 $M_5$ 에서는 부분구간이 $5$ 개이다. 주어진 자료에서 이는 알려진 자료점을 하나씩 건너뛰며 함수의 값을 구해야 한다는 뜻이다. 구체적으로,
$\begin{aligned}\int_{0}^{10000} m(h) \, dh &\approx M_5 \\ &= m(1000) \cdot 2000 + m(3000) \cdot 2000 + m(5000) \cdot 2000 \\ &+ m(7000) \cdot 2000 + m(9000) \cdot 2000 \\ &= \left( \frac{1}{875} + \frac{1}{780} + \frac{1}{685} + \frac{1}{585} + \frac{1}{490} \right) \cdot 2000 \\ &\approx 0.007634980475 \cdot 2000 \\ &\approx 15.27\end{aligned}\,.$ 따라서 비행기가 10,000피트의 고도까지 상승하는 데 $15$ 분보다 조금 더 걸린다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since the given climb rate, $c(h)$ , is in feet per minute, and the new function, $m(h)$ , is measured in minutes per foot, it follows that $m(h)$ is the reciprocal of $c(h)$ , so $m(h) = \frac{1}{c(h)}$ . Hence we get the following updated table.

$h$ (feet)	$0$	$1000$	$2000$	$3000$	$4000$	$5000$	$6000$	$7000$	$8000$	$9000$	$10{,}000$
$c$ (ft/min)	$925$	$875$	$830$	$780$	$730$	$685$	$635$	$585$	$535$	$490$	$440$
$m$ (min/ft)	$\frac{1}{925}$	$\frac{1}{875}$	$\frac{1}{830}$	$\frac{1}{780}$	$\frac{1}{730}$	$\frac{1}{685}$	$\frac{1}{635}$	$\frac{1}{585}$	$\frac{1}{535}$	$\frac{1}{490}$	$\frac{1}{440}$
(b) Given an original function, we know that the units on its derivative are “units of input per unit of output”. Since the units on $m(h)$ are “minutes per foot”, it follows that the antiderivative of $m(h)$ should have output units of “minutes” since its input units are “feet”. The antiderivative function should thus tell us the total number of minutes that it takes for the plane to climb to an altitude of $h$ feet.
(c) The number of minutes required for the airplane to ascend to $10{,}000$ feet of altitude is given by the definite integral
$M = \int_{0}^{10000} m(h) \, dh$
since the units on $m(h)$ are “minutes per foot” and the units on $\triangle h$ in the corresponding Riemann sum are “feet”, so when we take the product of quantities with these units, the resulting numerical quantity is measured in minutes.
(d) For the Riemann sum $M_5$ , we have $5$ subintervals. Given the original data, this means that we need to evaluate the function at every other known data point. In particular,
$\begin{aligned}\int_{0}^{10000} m(h) \, dh &\approx M_5 \\ &= m(1000) \cdot 2000 + m(3000) \cdot 2000 + m(5000) \cdot 2000 \\ &+ m(7000) \cdot 2000 + m(9000) \cdot 2000 \\ &= \left( \frac{1}{875} + \frac{1}{780} + \frac{1}{685} + \frac{1}{585} + \frac{1}{490} \right) \cdot 2000 \\ &\approx 0.007634980475 \cdot 2000 \\ &\approx 15.27\end{aligned}\,.$ Thus, it takes the plane a bit more than $15$ minutes to climb to an altitude of 10,000 feet.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.3절 · 50번우리말 번역

두 학생이 어떤 함수 $f(x)$ 에 대하여 $\int f(x)\ \mathrm{d}x$ 를 계산한다.

학생 A는 $\int f(x)\ \mathrm{d}x = \tan^2 x + x + C$ 라고 계산한다.
학생 B는 $\int f(x)\ \mathrm{d}x = \sec^2 x + x + C$ 라고 계산한다.
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\tan^2 x\} = f(x)-1$ 임이 알려져 있다.

누가 올바른 답을 얻었는지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

“ $+C$ ”는 함수에 임의의 상수를 더할 수 있다는 뜻임을 기억하자. $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ 이므로 학생 A와 학생 B의 답은 서로 같은 답이다. 두 답은 상수만큼만 다르다.

따라서 한 학생이 맞으면 두 학생 모두 맞고, 한 학생이 틀리면 두 학생 모두 틀리다. 학생 A의 풀이를 확인하면 다음과 같다. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\tan^2 x + x + C\}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\tan^2 x\} +1 + 0 = f(x)-1+1=f(x)$ 따라서 학생 A의 답은 실제로 $f(x)$ 의 원시함수이다. 그러므로 두 학생 모두 올바른 답을 얻었다.

참고: 서로 같은 답이 꽤 다르게 보이는 일은 자주 있다. 자신의 풀이를 다른 사람의 풀이와 비교할 때 이 점을 기억해 두면 좋다!

이 문제로 이어서 풀기

# 미적분의 기본정리그래프·표 해석자동 분류