미적분의 기본정리 연습문제 — CLP-2 · 1.3절 · 50번

CLP-2 · 1.3절 · 50번우리말 번역

두 학생이 어떤 함수 $f(x)$ 에 대하여 $\int f(x)\ \mathrm{d}x$ 를 계산한다.

학생 A는 $\int f(x)\ \mathrm{d}x = \tan^2 x + x + C$ 라고 계산한다.
학생 B는 $\int f(x)\ \mathrm{d}x = \sec^2 x + x + C$ 라고 계산한다.
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\tan^2 x\} = f(x)-1$ 임이 알려져 있다.

누가 올바른 답을 얻었는지 구하세요.

영어 원문 보기

Two students calculate $\int f(x)\ \mathrm{d}x$ for some function $f(x)$ .

Student A calculates $\int f(x)\ \mathrm{d}x = \tan^2 x + x + C$
Student B calculates $\int f(x)\ \mathrm{d}x = \sec^2 x + x + C$
It is a fact that $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\tan^2 x\} = f(x)-1$

Who ended up with the correct answer?

정답·풀이 보기

“ $+C$ ”는 함수에 임의의 상수를 더할 수 있다는 뜻임을 기억하자. $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ 이므로 학생 A와 학생 B의 답은 서로 같은 답이다. 두 답은 상수만큼만 다르다.

따라서 한 학생이 맞으면 두 학생 모두 맞고, 한 학생이 틀리면 두 학생 모두 틀리다. 학생 A의 풀이를 확인하면 다음과 같다. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\tan^2 x + x + C\}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\tan^2 x\} +1 + 0 = f(x)-1+1=f(x)$ 따라서 학생 A의 답은 실제로 $f(x)$ 의 원시함수이다. 그러므로 두 학생 모두 올바른 답을 얻었다.

참고: 서로 같은 답이 꽤 다르게 보이는 일은 자주 있다. 자신의 풀이를 다른 사람의 풀이와 비교할 때 이 점을 기억해 두면 좋다!

원본 교재 풀이(영어)

Recall that “ $+C$ " means that we can add any constant to the function. Since $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ , Students A and B have equivalent answers: they only differ by a constant.

So, if one is right, both are right; if one is wrong, both are wrong. We check Student A's work: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\tan^2 x + x + C\}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\tan^2 x\} +1 + 0 = f(x)-1+1=f(x)$ So, Student A's answer is indeed an anditerivative of $f(x)$ . Therefore, both students ended up with the correct answer.

Remark: it is a frequent occurrence that equivalent answers might look quite different. As you are comparing your work to others', this is a good thing to keep in mind!

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.3절 · 2번우리말 번역

함수 $f(x) = x^3 -\sin 2x$ 에 대하여, $F(0)=1$ 을 만족시키는 부정적분 $F(x)$ 를 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

먼저 $x^3-\sin(2x)$ 의 부정적분을 구해 보자.

도함수가 $x^3$ 인 함수 하나는 $\dfrac{x^4}{4}$ 이다.
$\sin(2x)$ 의 부정적분을 구하기 위해 먼저 $\cos(2x)$ 를 떠올릴 수 있지만, 확인해 보면 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\cos(2x)\}=-2\sin(2x)$ 이다. 따라서 $-\dfrac{1}{2}$ 을 곱하기만 하면 된다: $\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{-\dfrac{1}{2}\cos 2x\right\}=\sin(2x)$ .

따라서 $f(x)$ 의 부정적분은 $\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{1}{2}\cos 2x+C$ 이다. $F(0)=1$ 을 만족시키려면 다음이 성립해야 한다. (기호 $\iff$ 는 “필요충분조건이다”라고 읽는다. 이는 수학에서 두 명제가 논리적으로 동치임을 나타내는 데 쓰인다. 더 정확히 말하면, 명제 $P \iff Q$ 는 $Q$ 가 참일 때마다 $P$ 가 참이고 $P$ 가 참일 때마다 $Q$ 가 참이라는 뜻이다.)

$\begin{aligned} \Big[\frac{x^4}{4}+\frac{1}{2}\cos 2x+C\Big]_{x=0}=1 \iff \frac{1}{2} + C = 1 \iff C=\frac{1}{2} \end{aligned}$

따라서 $F(x) = \dfrac{x^4}{4}+\dfrac{1}{2}\cos 2x+\dfrac{1}{2}$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

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