입체도형의 부피 연습문제 — Active Calculus · 6.2절 · 6번

Active Calculus · 6.2절 · 6번우리말 번역

곡선 $f(x) = 3 \cos(\frac{x^3}{4})$ 과, 이 그래프 중 제1사분면에서 $y$ 축과 $f(x) = 0$ 을 만족하는 첫 번째 양의 $x$ 값 사이에 놓인 부분을 생각하세요. $R$ 을 $f$ 의 이 부분, $x$ 축, $y$ 축으로 둘러싸인 영역이라고 하세요.

(a) $R$ 의 위쪽 경계를 따라 놓인 $f$ 의 정확한 곡선의 길이를 값으로 갖는 정적분을 세우세요. 적절한 공학 도구를 사용하여 구한 정적분의 값을 계산하세요. (b) $R$ 의 정확한 넓이를 값으로 갖는 정적분을 세우세요. 적절한 공학 도구를 사용하여 구한 정적분의 값을 계산하세요. (c) 영역 $R$ 을 $x$ 축을 중심으로 회전시킨다고 하세요. 이때 생기는 회전체의 정확한 부피를 값으로 갖는 정적분을 세우세요. 적절한 공학 도구를 사용하여 구한 정적분의 값을 계산하세요. (d) 대신 $R$ 을 $y$ 축을 중심으로 회전시킨다고 하세요. 가능하다면, 회전체의 정확한 부피를 값으로 갖는 적분식을 세우고 적절한 공학 도구를 사용하여 그 적분의 값을 계산하세요. 가능하지 않다면, 그 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Consider the curve $f(x) = 3 \cos(\frac{x^3}{4})$ and the portion of its graph that lies in the first quadrant between the $y$ -axis and the first positive value of $x$ for which $f(x) = 0$ . Let $R$ denote the region bounded by this portion of $f$ , the $x$ -axis, and the $y$ -axis.

(a) Set up a definite integral whose value is the exact arc length of $f$ that lies along the upper boundary of $R$ . Use technology appropriately to evaluate the integral you find. (b) Set up a definite integral whose value is the exact area of $R$ . Use technology appropriately to evaluate the integral you find. (c) Suppose that the region $R$ is revolved around the $x$ -axis. Set up a definite integral whose value is the exact volume of the solid of revolution that is generated. Use technology appropriately to evaluate the integral you find. (d) Suppose instead that $R$ is revolved around the $y$ -axis. If possible, set up an integral expression whose value is the exact volume of the solid of revolution and evaluate the integral using appropriate technology. If not possible, explain why.

정답·풀이 보기

(a) 함수의 그래프를 그리고 공학 도구를 사용하여 $f(x)$ 가 $x$ 축과 만나는 지점을 찾으면, 영역 $R$ 은 다음 그림과 같다. $이 그림은 구간 0,3 에서 함수 f(x) = 3 cos( frac x 3 4 ) 의 그래프를 나타내며, x축 위쪽에서 y축부터 함수의 첫 번째 영점(대략$ 곡선의 길이 공식을 적용하려면 $f$ 의 도함수가 필요하다. 합성함수의 미분법에 의해 $f'(x) = -3 \sin(\frac{x^3}{4}) \cdot \frac{3}{4}x^2$ 이므로, $R$ 의 위쪽 경계를 따라 놓인 $f$ 의 곡선의 길이는 다음과 같다. $L = \int_0^{1.84257} \sqrt{1+\left( -3 \sin \left(\frac{x^3}{4}\right) \cdot \frac{3}{4}x^2 \right)^2} \, dx\,.$ 공학 도구로 이 정적분의 값을 계산하면 $L \approx 4.10521$ 이다. (b) $R$ 의 넓이는 다음과 같다. $A = \int_0^{1.84527} 3 \cos\left( \frac{x^3}{4} \right) \, dx \approx 4.6623\,.$ (c) $R$ 을 $x$ 축을 중심으로 회전시키면, $x$ 축에 수직인 단면으로 자른 원판법을 사용하여 생기는 입체의 부피를 구할 수 있다. 각 원판의 반지름이 $r(x) = 3 \cos(\frac{x^3}{4})$ 이고 각 원판의 두께가 $\triangle x$ 이므로, 각 조각의 부피는 다음과 같다. $V_{\text{조각}} \approx \pi r(x)^2 \triangle x = \pi \left( 3 \cos\left( \frac{x^3}{4} \right) \right)^2 \triangle x$ 따라서 전체 부피는 다음과 같다. $V = \int_0^{1.84527} \pi \cdot 9 \cos^2 \left( \frac{x^3}{4} \right) \, dx \approx 40.31965$ (d) 대신 $R$ 을 $y$ 축을 중심으로 회전시키면, 원판법을 적용하기 위해 두께가 $\triangle y$ 인 수평 원판을 사용해야 한다. 그러려면 주어진 대로 $y$ 를 $x$ 의 함수로 나타내는 대신 $x$ 를 $y$ 의 함수로 나타내야 한다. 따라서 주어진 함수 $y = 3 \cos(\frac{x^3}{4})$ 에서 $x$ 에 대해 방정식을 푼다. 먼저 다음을 얻는다. $\cos\left( \frac{x^3}{4} \right) = \frac{y}{3}$ 그러므로 역코사인을 사용하면 $\frac{x^3}{4} = \arccos \left( \frac{y}{3} \right)$ 이고, 따라서 $x^3 = 4\arccos \left(\frac{y}{3} \right)$ 이므로 $x = \sqrt[3]{4\arccos \left(\frac{y}{3} \right)}\,.$ 이제 대표적인 조각은 반지름이 $r(y) = \sqrt[3]{4\arccos \left(\frac{y}{3} \right)}$ 이고 두께가 $\triangle y$ 이며, 부피는 다음과 같다. $V_{\text{조각}} \approx \pi \cdot \left( \sqrt[3]{4\arccos \left(\frac{y}{3} \right)} \right)^2 \triangle y\,.$ $y = 0$ 부터 $y = 3$ 까지 조각들을 더하기 위해 적분하면, 회전체의 부피는 다음과 같다. $V = \int_0^3 \pi \left( 4\arccos \left(\frac{y}{3} \right) \right)^{2/3} \, dy \approx 23.29194\,.$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Plotting the function and using technology to find where $f(x)$ intersects the $x$ -axis, we see that the region $R$ as pictured in the following figure. $This image shows a plot of the function f(x) = 3 cos( frac x 3 4 ) on the interval 0,3 and shades only the region bounded above the x-axis from the y-axis up to the first zero of the function at appro$ To apply the formula we developed for arc length, we need the derivative of $f$ . By the chain rule, $f'(x) = -3 \sin(\frac{x^3}{4}) \cdot \frac{3}{4}x^2$ , so the arc length of $f$ that lies along the upper boundary of $R$ is $L = \int_0^{1.84257} \sqrt{1+\left( -3 \sin \left(\frac{x^3}{4}\right) \cdot \frac{3}{4}x^2 \right)^2} \, dx\,.$ Using technology to evaluate the integral, we find $L \approx 4.10521$ . (b) The area of $R$ is $A = \int_0^{1.84527} 3 \cos\left( \frac{x^3}{4} \right) \, dx \approx 4.6623\,.$ (c) Revolving $R$ around the $x$ -axis, we can use the disk method with slices perpendicular to the $x$ -axis to find the volume of the resulting region. Noting that the radius of each such disk is $r(x) = 3 \cos(\frac{x^3}{4})$ and the width of each such disk is $\triangle x$ , we know the volume of each slice is $V_{\text{slice}} \approx \pi r(x)^2 \triangle x = \pi \left( 3 \cos\left( \frac{x^3}{4} \right) \right)^2 \triangle x$ and thus the total volume is $V = \int_0^{1.84527} \pi \cdot 9 \cos^2 \left( \frac{x^3}{4} \right) \, dx \approx 40.31965$ (d) If we instead revolve $R$ around the $y$ -axis, we need to use horizontal disks of thickness $\triangle y$ in order to apply the disk method. To do that, we also need to express $x$ as a function of $y$ , rather than $y$ as a function of $x$ as given. Thus we take the given function $y = 3 \cos(\frac{x^3}{4})$ and solve the equation for $x$ . First, we observe $\cos\left( \frac{x^3}{4} \right) = \frac{y}{3}$ and thus using the inverse cosine, $\frac{x^3}{4} = \arccos \left( \frac{y}{3} \right)$ and therefore $x^3 = 4\arccos \left(\frac{y}{3} \right)$ so that $x = \sqrt[3]{4\arccos \left(\frac{y}{3} \right)}\,.$ Now, a typical slice has radius $r(y) = \sqrt[3]{4\arccos \left(\frac{y}{3} \right)}$ with thickness $\triangle y$ , and volume $V_{\text{slice}} \approx \pi \cdot \left( \sqrt[3]{4\arccos \left(\frac{y}{3} \right)} \right)^2 \triangle y\,.$ Integrating to add up the slices from $y = 0$ to $y = 3$ , we have the volume of the solid of revolution is $V = \int_0^3 \pi \left( 4\arccos \left(\frac{y}{3} \right) \right)^{2/3} \, dy \approx 23.29194\,.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 6.2절 · 6번우리말 번역

높이가 6 단위이고 밑면이 한 변의 길이가 2 단위인 정사각형인 사각뿔이다(그림 참조).

이 그림은 밑면의 너비가 2 단위이고 높이가 6 단위인 사각뿔이다.

다 풀었으면 정답 확인

8 단위³

이 문제로 이어서 풀기

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류