입체도형의 부피

곡선 $y=1/x$ 와 $3x+3y=10$, 즉 $y =\frac{10}{3}-x$ 는 다음과 같을 때 만난다.

$$\begin{aligned} \frac{1}{x} = \frac{10}{3}-x &\iff 3 = 10x-3x^2 \iff 3x^2-10x+3=0 \\ &\iff(3x-1)(x-3)=0 \\ &\iff x=3\,,\,\frac{1}{3} \end{aligned}$$

이 영역을 $x$축을 중심으로 회전시키면, 위 그림의 수직 띠는 두께가 $\mathrm{d}x$ 이고 바깥쪽 반지름이 $T(x)=\frac{10}{3}-x$, 안쪽 반지름이 $B(x)=\frac{1}{x}$ 인 와셔(워셔) 모양을 만든다. 이 와셔의 부피는

$$\pi\big(T(x)^2- B(x)^2\big)\,\mathrm{d}x = \pi\Big(\frac{100}{9}-\frac{20}{3}x+x^2-\frac{1}{x^2}\Big)\,\mathrm{d}x$$

이다. 따라서 입체의 부피는

$$\begin{aligned} \pi\int_{1/3}^3\Big(\frac{100}{9}-\frac{20}{3}x+x^2-\frac{1}{x^2}\Big)\,\mathrm{d}x &=\pi\Big[\frac{100x}{9}-\frac{10}{3}x^2+\frac{1}{3}x^3 +\frac{1}{x}\Big]_{1/3}^3 \\ &=\pi\Big[\frac{38}{3}-\frac{514}{3^4}\Big] = \pi\frac{512}{81} \end{aligned}$$

이다.