입체도형의 부피 연습문제 — Active Calculus · 6.2절 · 8번

Active Calculus · 6.2절 · 8번우리말 번역

곡선 $y = 1+\frac{1}{2}(x-2)^2$ , $y=\frac{1}{2}x^2$ , 그리고 $x = 0$ 으로 유계인 유한한 영역 $R$ 을 생각하세요.

(a) 두 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 값으로 갖는 정적분을 구하세요. (b) 영역 $R$ 을 직선 $y = -1$ 을 축으로 회전시켜 만든 회전체의 부피를 값으로 갖는, 하나 이상의 정적분을 포함한 식을 구하세요. (c) 영역 $R$ 을 $y$ 축을 축으로 회전시켜 만든 회전체의 부피를 값으로 갖는, 하나 이상의 정적분을 포함한 식을 구하세요. (d) 영역 $R$ 의 둘레를 값으로 갖는, 하나 이상의 정적분을 포함한 식을 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the finite region $R$ that is bounded by the curves $y = 1+\frac{1}{2}(x-2)^2$ , $y=\frac{1}{2}x^2$ , and $x = 0$ .

(a) Determine a definite integral whose value is the area of the region enclosed by the two curves. (b) Find an expression involving one or more definite integrals whose value is the volume of the solid of revolution generated by revolving the region $R$ about the line $y = -1$ . (c) Determine an expression involving one or more definite integrals whose value is the volume of the solid of revolution generated by revolving the region $R$ about the $y$ -axis. (d) Find an expression involving one or more definite integrals whose value is the perimeter of the region $R$ .

정답·풀이 보기

(a) $이 그림은 제1사분면에 있는 영역 R 을 보여 준다. 이 영역은 곡선 g(x) = 1+ frac 1 2 (x-2) 2 와 f(x)= frac 1 2 x 2, 그리고 세로축 x = 0 으로 유계이다. 함수 g 가 위쪽을 이룬다.$ 영역의 모양은 위의 그림과 같다. 두 곡선의 교점은 $1+\frac{1}{2}(x-2)^2 = \frac{1}{2}x^2\,,$ 일 때 생기므로 $2+(x-2)^2 = x^2$ 이고, 이로부터 $2+(x^2-4x+4) = x^2$ 이므로 $4x=6$ 에서 $x = \frac{3}{2}$ 이다. 구간 $\left[0, \frac{3}{2} \right]$ 에서 $g(x) = 1+\frac{1}{2}(x-2)^2 \ge \frac{1}{2}x^2 = f(x)$ 이므로, 두 곡선 사이 영역의 넓이는 $\begin{aligned}A = &= \int_0^{1.5} 1+\frac{1}{2}(x-2)^2 - \frac{1}{2}x^2 \ dx \\ &= \int_0^{1.5} 1+\frac{1}{2}(x^2-4x+4) - \frac{1}{2}x^2 \ dx \\ &= \int_0^{1.5} 3-2x \ dx \\ &= \left(3x-x^2\right)\biggm|_{0}^{1.5} \\ &= 4.5-2.25 \\ &= 2.25\end{aligned}\,.$ (b) (위의 그림을 바탕으로 영역 $R$ 을 $y = -1$ 을 축으로 회전시킨 회전체의 그림을 직접 그려 보아야 한다.) 두께가 $\triangle x$ 인 수직 단면으로 자르면 단면은 워셔(속이 빈 원판) 모양이 된다. $y = -1$ 을 축으로 회전시키므로 바깥쪽 반지름은 $R(x) = 2+\frac{1}{2}(x-2)^2$ 이고, 안쪽 반지름은 $1+\frac{1}{2}x^2$ 이다. 따라서 두께가 $\triangle x$ 인 대표적인 조각의 부피는 $V_{\text{조각}} \approx \pi \left( R(x)^2 - r(x)^2 \right) \triangle x = \pi\left[\left(2+\frac{1}{2}(x-2)^2\right)^2 - \left(1+\frac{1}{2}x^2\right)^2 \right] \triangle x\,.$ 로 주어진다. 그러므로 영역 $R$ 을 직선 $y=-1$ 을 축으로 회전시켜 얻은 회전체의 부피는 $V = \int_0^{1.5} \pi\left[\left(2+\frac{1}{2}(x-2)^2\right)^2 - \left(1+\frac{1}{2}x^2\right)^2 \right] \ dx = \frac{315}{32} \pi$ 이다. (c) (영역 $R$ 을 $y$ 축을 축으로 회전시킨 회전체의 그림을 직접 그려 보아야 한다.) 수평으로 자르면 단면은 두께가 $\triangle y$ 인 원기둥 모양(원판)이 된다. $y$ 가 $f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{8} = 1.125$ 를 지나면서 원판의 반지름이 달라지므로 전체 부피를 구하려면 서로 다른 두 정적분이 필요하다. 수평으로 자르므로 $y$ 에 대해 적분하게 되고, 따라서 두 방정식을 모두 $y$ 의 함수로서 $x$ 에 대해 풀어야 한다. $y = 1+\frac{1}{2}(x-2)^2$ 에서 $2(y-1) = (x-2)^2$ 이므로 $x-2 = \pm \sqrt{2(y-1)}$ 이고 따라서 $x = 2 \pm \sqrt{2(y-1)}$ 이며, 마찬가지로 $y = \frac{1}{2}x^2$ 에서 $x = \pm \sqrt{2y}$ 이다. 곡선 $y = 1+\frac{1}{2}(x-2)^2$ 중에서 경계 하나를 이루는 부분은 포물선의 왼쪽 부분이므로 $x = 2 - \sqrt{2(y-1)}$ 이고, 곡선 $y = \frac{1}{2}x^2$ 중에서 다른 경계를 이루는 부분은 포물선의 오른쪽 부분이므로 $x = \sqrt{2y}$ 이다. 이 두 곡선이 원판의 반지름을 정하며( $y < 1.125$ 일 때는 하나, $y > 1.125$ 일 때는 다른 하나), 영역의 가장 낮은 점은 $(0,0)$ 이고 가장 높은 점은 $(0,3)$ 이다. 따라서 영역 $R$ 을 $y$ 축을 축으로 회전시켜 얻은 회전체의 부피를 나타내는 적분의 합은 $V = \int_{0}^{1.125} \pi \left(\sqrt{2y}\right)^2 \ dy + \int_{1.125}^3 \pi \left(2 - \sqrt{2(y-1)}\right)^2 \ dy \approx 7.06858347$ 이다. (d) 구간 $[a,b]$ 에서 함수 $f$ 로 정의된 곡선의 길이는 $\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} \ dx\,.$ 로 주어짐을 기억하자. 영역 $R$ 의 둘레를 구하려면 구간 $[0,1.5]$ 에서 $y = 1+\frac{1}{2}(x-2)^2$ (이때 $y' = x-2$ ) 과 $y=\frac{1}{2}x^2$ (이때 $y' = x$ ) 로 정의된 곡선의 길이와, $y$ 가 $0$ 에서 $3$ 까지 변할 때 $x=0$ 을 따라 놓인 선분의 길이를 계산한다. 이 마지막 길이는 $3$ 이므로 영역 $R$ 의 둘레는 $P = 3 + \int_0^{1.5} \sqrt{1+(x-2)^2} + \sqrt{1+x^2} \ dx \approx 7.387234642\,.$ 로 주어진다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $This image shows the region R in the first quadrant that is bounded by the curves g(x) = 1+ frac 1 2 (x-2) 2 and f(x)= frac 1 2 x 2, along with the vertical axis, x = 0. The function g bounds the top$ A picture of the region is shown in the figure above. The point of intersection occurs when $1+\frac{1}{2}(x-2)^2 = \frac{1}{2}x^2\,,$ so $2+(x-2)^2 = x^2$ , which implies $2+(x^2-4x+4) = x^2$ and thus $4x=6$ so $x = \frac{3}{2}$ . Since $g(x) = 1+\frac{1}{2}(x-2)^2 \ge \frac{1}{2}x^2 = f(x)$ on the interval $\left[0, \frac{3}{2} \right]$ , the area of the region between the two curves is $\begin{aligned}A = &= \int_0^{1.5} 1+\frac{1}{2}(x-2)^2 - \frac{1}{2}x^2 \ dx \\ &= \int_0^{1.5} 1+\frac{1}{2}(x^2-4x+4) - \frac{1}{2}x^2 \ dx \\ &= \int_0^{1.5} 3-2x \ dx \\ &= \left(3x-x^2\right)\biggm|_{0}^{1.5} \\ &= 4.5-2.25 \\ &= 2.25\end{aligned}\,.$ (b) (You should draw a picture of the solid, based on the figure above, with the region $R$ revolved about $y = -1$ .) We slice vertically so that our cross sections are washers with thickness $\triangle x$ . Because we are revolving about $y = -1$ , the outer radius is $R(x) = 2+\frac{1}{2}(x-2)^2$ , while the inner radius is $1+\frac{1}{2}x^2$ . Hence the volume of a typical slice, which has thickness $\triangle x$ is given by $V_{\text{slice}} \approx \pi \left( R(x)^2 - r(x)^2 \right) \triangle x = \pi\left[\left(2+\frac{1}{2}(x-2)^2\right)^2 - \left(1+\frac{1}{2}x^2\right)^2 \right] \triangle x\,.$ Hence, the volume of the solid obtained by revolving the region $R$ around the line $y=-1$ is given by $V = \int_0^{1.5} \pi\left[\left(2+\frac{1}{2}(x-2)^2\right)^2 - \left(1+\frac{1}{2}x^2\right)^2 \right] \ dx = \frac{315}{32} \pi$ (c) (Draw a picture of the solid, based on revolving the region $R$ about the $y$ -axis.) We slice horizontally and thus the resulting cross sections are cylinders with thickness $\triangle y$ . The radius of the disks changes as $y$ passes through $f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{8} = 1.125$ , so we need two different integrals to find the total volume. Since we are slicing horizontally, we will integrate with respect to $y$ , so we need to solve both of our equations for $x$ as functions of $y$ . Observe that $y = 1+\frac{1}{2}(x-2)^2$ implies $2(y-1) = (x-2)^2$ , so $x-2 = \pm \sqrt{2(y-1)}$ and thus $x = 2 \pm \sqrt{2(y-1)}$ , and similarly $y = \frac{1}{2}x^2$ implies $x = \pm \sqrt{2y}$ . The portion of the curve defined by $y = 1+\frac{1}{2}(x-2)^2$ that determines one of the boundaries is the left hand portion of the parabola, so $x = 2 - \sqrt{2(y-1)}$ , while the portion of the curve $y = \frac{1}{2}x^2$ that determines the other boundary is the right hand portion of the parabola, so $x = \sqrt{2y}$ . These two curves define the radius of the disk (one for $y < 1.125$ , the other for $y > 1.125$ ) and the lowest point on the region is $(0,0)$ while the highest is $(0,3)$ . So a sum of integrals that represents the volume of the solid obtained by revolving the region $R$ around the $y$ -axis is $V = \int_{0}^{1.125} \pi \left(\sqrt{2y}\right)^2 \ dy + \int_{1.125}^3 \pi \left(2 - \sqrt{2(y-1)}\right)^2 \ dy \approx 7.06858347$ (d) Recall that the length of a curve defined by a function $f$ on an interval $[a,b]$ is given by $\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} \ dx\,.$ To find the perimeter of the region $R$ we calculate the length of the curves defined by $y = 1+\frac{1}{2}(x-2)^2$ (for which $y' = x-2$ ) and $y=\frac{1}{2}x^2$ (for which $y' = x$ ) on the interval $[0,1.5]$ and the length of the segment along $x=0$ as $y$ goes from $0$ to $3$ . This last length is $3$ , so the perimeter of the region $R$ is given by $P = 3 + \int_0^{1.5} \sqrt{1+(x-2)^2} + \sqrt{1+x^2} \ dx \approx 7.387234642\,.$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.6절 · 5번우리말 번역

다음 양을 나타내는 정적분을 쓰세요. 정적분의 값을 직접 계산하지 마세요.

(a) 곡선 $y=1-x^2$ 과 $y=4-4x^2$ 으로 유계된 유한한 평면 영역을 직선 $y=-1$ 을 축으로 회전시켜 얻은 입체의 부피. (b) 곡선 $y=x^2-1$ 과 직선 $y=0$ 으로 유계된 유한한 평면 영역을 직선 $x=5$ 를 축으로 회전시켜 얻은 입체의 부피.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 두 곡선은 $(1,0)$ 과 $(-1,0)$ 에서 만난다. 그림

과 같은 띠를 직선 $y=-1$ 을 축으로 회전시키면 다음과 같은 얇은 와셔(구멍 뚫린 원판)가 만들어진다.

안쪽 반지름은 $(1-x^2)-(-1)=2-x^2$ ,
바깥쪽 반지름은 $(4-4x^2)-(-1)=5-4x^2$ ,
두께는 $\mathrm{d}x$ 이다. 따라서
단면의 넓이는 $\pi\big[{(5-4x^2)}^2-{(2-x^2)}^2\big]$ 이고
부피는 $\pi\big[{(5-4x^2)}^2-({2-x^2)}^2\big]\,\mathrm{d}x$ 이다.

그러므로 입체의 부피는 다음과 같다.

$\begin{aligned} \int_{-1}^{1}\pi\big[{(5-4x^2)}^2-{(2-x^2)}^2\big]\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

(b) 곡선 $y=x^2-1$ 은 $y=0$ 과 $(1,0)$ , $(-1,0)$ 에서 만난다.

가로 방향 와셔를 이용한다.

위 그림처럼 높이가 $\mathrm{d}y$ 인 얇은 가로 띠를 이용한다.
직선 $x=5$ 를 축으로 회전시키면 각 띠는 얇은 와셔를 만든다.
안쪽 반지름은 $r_{in}=5-\sqrt{y+1}$ 이고,
바깥쪽 반지름은 $r_{out}= 5-(-\sqrt{y+1})=5+\sqrt{y+1}$ 이며,
두께는 $\mathrm{d}y$ 이므로
부피는 $\pi(r_{out}^2 - r_{in}^2)\,\mathrm{d}y = \pi\big[\big(5+\sqrt{y+1}\big)^2-\big(5-\sqrt{y+1}\big)^2\big]\,\mathrm{d}y$ 이다.
가장 위쪽 띠는 $y=0$ 에 있고 가장 아래쪽 띠는 ( $x=0$ 일 때) $y=-1$ 에 있으므로, 전체 부피는 다음과 같다.

$\begin{aligned} \int _{-1}^0 \pi\left[\big(5+\sqrt{y+1}\big)^2-\big(5-\sqrt{y+1}\big)^2\right]\,\mathrm{d}y \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 입체도형의 부피활용자동 분류