입체도형의 부피 연습문제 — CLP-2 · 1.6절 · 5번

CLP-2 · 1.6절 · 5번우리말 번역

다음 양을 나타내는 정적분을 쓰세요. 정적분의 값을 직접 계산하지 마세요.

(a) 곡선 $y=1-x^2$ 과 $y=4-4x^2$ 으로 유계된 유한한 평면 영역을 직선 $y=-1$ 을 축으로 회전시켜 얻은 입체의 부피. (b) 곡선 $y=x^2-1$ 과 직선 $y=0$ 으로 유계된 유한한 평면 영역을 직선 $x=5$ 를 축으로 회전시켜 얻은 입체의 부피.

영어 원문 보기

Write down definite integrals that represent the following quantities. Do not evaluate the integrals explicitly.

(a) The volume of the solid obtained by rotating the finite plane region bounded by the curves $y=1-x^2$ and $y=4-4x^2$ about the line $y=-1$ . (b) The volume of the solid obtained by rotating the finite plane region bounded by the curve $y=x^2-1$ and the line $y=0$ about the line $x=5$ .

정답·풀이 보기

(a) 두 곡선은 $(1,0)$ 과 $(-1,0)$ 에서 만난다. 그림

과 같은 띠를 직선 $y=-1$ 을 축으로 회전시키면 다음과 같은 얇은 와셔(구멍 뚫린 원판)가 만들어진다.

안쪽 반지름은 $(1-x^2)-(-1)=2-x^2$ ,
바깥쪽 반지름은 $(4-4x^2)-(-1)=5-4x^2$ ,
두께는 $\mathrm{d}x$ 이다. 따라서
단면의 넓이는 $\pi\big[{(5-4x^2)}^2-{(2-x^2)}^2\big]$ 이고
부피는 $\pi\big[{(5-4x^2)}^2-({2-x^2)}^2\big]\,\mathrm{d}x$ 이다.

그러므로 입체의 부피는 다음과 같다.

$\begin{aligned} \int_{-1}^{1}\pi\big[{(5-4x^2)}^2-{(2-x^2)}^2\big]\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

(b) 곡선 $y=x^2-1$ 은 $y=0$ 과 $(1,0)$ , $(-1,0)$ 에서 만난다.

가로 방향 와셔를 이용한다.

위 그림처럼 높이가 $\mathrm{d}y$ 인 얇은 가로 띠를 이용한다.
직선 $x=5$ 를 축으로 회전시키면 각 띠는 얇은 와셔를 만든다.
안쪽 반지름은 $r_{in}=5-\sqrt{y+1}$ 이고,
바깥쪽 반지름은 $r_{out}= 5-(-\sqrt{y+1})=5+\sqrt{y+1}$ 이며,
두께는 $\mathrm{d}y$ 이므로
부피는 $\pi(r_{out}^2 - r_{in}^2)\,\mathrm{d}y = \pi\big[\big(5+\sqrt{y+1}\big)^2-\big(5-\sqrt{y+1}\big)^2\big]\,\mathrm{d}y$ 이다.
가장 위쪽 띠는 $y=0$ 에 있고 가장 아래쪽 띠는 ( $x=0$ 일 때) $y=-1$ 에 있으므로, 전체 부피는 다음과 같다.

$\begin{aligned} \int _{-1}^0 \pi\left[\big(5+\sqrt{y+1}\big)^2-\big(5-\sqrt{y+1}\big)^2\right]\,\mathrm{d}y \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The curves intersect at $(1,0)$ and $(-1,0)$ . When the strip shown in the figure

is rotated about the line $y=-1$ , it forms a thin washer with:

inner radius $(1-x^2)-(-1)=2-x^2$ ,
outer radius $(4-4x^2)-(-1)=5-4x^2$ and
thickness $\mathrm{d}x$ ; so, it has
cross sectional area $\pi\big[{(5-4x^2)}^2-{(2-x^2)}^2\big]$ and
volume $\pi\big[{(5-4x^2)}^2-({2-x^2)}^2\big]\,\mathrm{d}x$ .

So the volume of the solid is

$\begin{aligned} \int_{-1}^{1}\pi\big[{(5-4x^2)}^2-{(2-x^2)}^2\big]\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

(b) The curve $y=x^2-1$ intersects $y=0$ at $(1,0)$ and $(-1,0)$ .

We'll use horizontal washers.

We use thin horizontal strips of height $\mathrm{d}y$ as in the figure above.
When we rotate about the line $x=5$ , each strip sweeps out a thin washer
whose inner radius is $r_{in}=5-\sqrt{y+1}$ , and
whose outer radius is $r_{out}= 5-(-\sqrt{y+1})=5+\sqrt{y+1}$ and
whose thickness is $\mathrm{d}y$ and hence
whose volume is $\pi(r_{out}^2 - r_{in}^2)\,\mathrm{d}y = \pi\big[\big(5+\sqrt{y+1}\big)^2-\big(5-\sqrt{y+1}\big)^2\big]\,\mathrm{d}y$
As our topmost strip is at $y=0$ and our bottommost strip is at $y=-1$ (when $x=0$ ), the total volume is

$\begin{aligned} \int _{-1}^0 \pi\left[\big(5+\sqrt{y+1}\big)^2-\big(5-\sqrt{y+1}\big)^2\right]\,\mathrm{d}y \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.6절 · 6번우리말 번역

곡선 $y=x^2$ 과 $y=8-x^2$ 사이의 영역을 직선 $y=-1$ 을 축으로 회전시켜 얻은 입체의 부피를 나타내는 정적분을 쓰세요. 정적분의 값을 직접 계산하지 마세요.

다 풀었으면 정답 확인

두 곡선은 $(-2,4)$ 와 $(2,4)$ 에서 만난다. 그림

과 같은 띠를 직선 $y=-1$ 을 축으로 회전시키면 다음과 같은 얇은 와셔(구멍 뚫린 원판)가 만들어진다.

안쪽 반지름은 $x^2+1$ ,
바깥쪽 반지름은 $9-x^2$ ,
두께는 $\mathrm{d}x$ 이므로
단면의 넓이는 $\pi\big[{(9-x^2)}^2-{(x^2+1)}^2\big]$ 이고
부피는 $\pi\big[{(9-x^2)}^2-{(x^2+1)}^2\big]\,\mathrm{d}x$ 이다.

그러므로 입체의 부피는 다음과 같다.

$\begin{aligned} \pi\int_{-2}^{2}\big[{(9-x^2)}^2-{(x^2+1)}^2\big]\ \mathrm{d}x \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 입체도형의 부피활용기본자동 분류