오일러 방법 연습문제 — Active Calculus · 7.3절 · 6번

Active Calculus · 7.3절 · 6번대학 수준우리말 번역

뉴턴의 냉각 법칙에 따르면, 커피 한 잔과 같은 물체가 식는 속도는 물체의 온도와 실내 온도의 차에 비례한다. $T(t)$ 가 물체의 온도이고 $T_r$ 이 실내 온도일 때, 이 법칙은 다음과 같이 나타내어진다.

$\frac{dT}{dt} = -k(T-T_r)\,,$ 여기서 $k$ 는 비례상수이다. 이 문제에서 온도는 화씨 도로, 시간은 분으로 측정한다.

(a) 미적분을 배우는 두 학생 앨리스와 밥이 동시에 70 $^\circ$ 인 교실에 들어간다. 두 사람은 각각 100 $^\circ$ 인 커피 한 잔을 들고 있다. 앨리스의 미분방정식에서 비례상수는 $k=0.5$ 이고, 밥의 비례상수는 $k=0.1$ 이다. 앨리스의 커피의 초기 변화율은 얼마인지 구하세요. 밥의 커피의 초기 변화율은 얼마인지 구하세요. (b) 앨리스와 밥의 커피 잔의 어떤 특징이 이 차이를 설명할 수 있는지 설명하세요. (c) 실내 난방 장치가 켜졌다 꺼졌다 함에 따라 실내 온도가 다음과 같다고 하자. $T_r=70+10\sin t\,.$ 시간 구간 $0\leq t\leq 50$ 에서 앨리스의 커피 온도를 어림하기 위해 단계 크기 $\Delta t = 0.1$ 로 오일러 방법을 적용하세요. 이는 엑셀과 같은 스프레드시트를 사용하면 가장 쉽게 할 수 있다. 이 구간에서 앨리스의 커피 온도와 실내 온도의 그래프를 그리세요. (d) 같은 방법으로 오일러 방법을 적용하여 같은 시간 구간에서 밥의 커피 온도를 어림하세요. 이 구간에서 밥의 커피 온도와 실내 온도의 그래프를 그리세요. (e) 앨리스의 커피와 밥의 커피의 온도 변화 양상에서 나타나는 비슷한 점과 다른 점을 설명하세요.

영어 원문 보기

Newton's Law of Cooling says that the rate at which an object, such as a cup of coffee, cools is proportional to the difference in the object's temperature and room temperature. If $T(t)$ is the object's temperature and $T_r$ is room temperature, this law is expressed at

$\frac{dT}{dt} = -k(T-T_r)\,,$ where $k$ is a constant of proportionality. In this problem, temperature is measured in degrees Fahrenheit and time in minutes.

(a) Two calculus students, Alice and Bob, enter a 70 $^\circ$ classroom at the same time. Each has a cup of coffee that is 100 $^\circ$ . The differential equation for Alice has a constant of proportionality $k=0.5$ , while the constant of proportionality for Bob is $k=0.1$ . What is the initial rate of change for Alice's coffee? What is the initial rate of change for Bob's coffee? (b) What feature of Alice's and Bob's cups of coffee could explain this difference? (c) As the heating unit turns on and off in the room, the temperature in the room is $T_r=70+10\sin t\,.$ Implement Euler's method with a step size of $\Delta t = 0.1$ to approximate the temperature of Alice's coffee over the time interval $0\leq t\leq 50$ . This will most easily be performed using a spreadsheet such as Excel. Graph the temperature of her coffee and room temperature over this interval. (d) In the same way, implement Euler's method to approximate the temperature of Bob's coffee over the same time interval. Graph the temperature of his coffee and room temperature over the interval. (e) Explain the similarities and differences that you see in the behavior of Alice's and Bob's cups of coffee.

정답·풀이 보기

(a) 앨리스의 커피에 대한 미분방정식은 $\frac{dT_A}{dt} = -0.5(T-70)\,,$ 이므로 순간 $t = 0$ 에서 $T = 100$ 이고, 따라서 $\frac{dT_A}{dt} \vert_{T = 100} = -0.5(30) = -15$ 로 분당 15도 감소한다. 밥의 커피에 대해서는 $\frac{dT_B}{dt} = -0.1(T-70)\,,$ 이므로 $\frac{dT_B}{dt} \vert_{T = 100} = -0.1(30) = -3$ 으로 분당 3도 감소한다. 이것이 각 커피의 초기 변화율이다. (b) 커피 잔 사이의 차이는 용기가 얼마나 단열되어 있는지로 설명할 수 있다. 밥의 커피는 온도가 더 천천히 떨어지므로, 밥의 용기가 단열이 더 잘 되어 있을 가능성이 높다. (c) 이처럼 실내 온도가 변하므로, 앨리스의 커피에 대한 지배 미분방정식은 $\frac{dT_A}{dt} = -0.5(T_A-(70+10\sin t))\,,$ 이고 초기 조건은 $T_A(0) = 100$ 이다. $\Delta t = 0.1$ 로 오일러 방법을 적용하면 다음과 같은 (일부만 나타낸) 자료표를 얻는다.

$t$	$T_A(t)$
$0.0$	$100$
$0.1$	$98.5$
$0.2$	$97.12492$
$0.3$	$95.86801$
$0.4$	$94.72237$
$\vdots$	$\vdots$
$49.6$	$65.56715$
$49.7$	$65.48008$
$49.8$	$65.43816$
$49.9$	$65.44183$
$50$	$65.49103$

오일러 방법으로 얻은 데이터 점을 실내 온도 함수와 함께 그리면, 위 그림에서 보듯이 시간이 지남에 따라 실내 온도가 커피의 온도를 오르내리게 함을 알 수 있다. 그림에서 커피의 어림 온도에 해당하는 데이터 점은 짙은 파란색으로, 실내 온도 함수 $T_R(t) = 70 + 10\sin(t)$ 는 초록색으로 나타냈다.
(d) 밥의 커피에 대한 미분방정식으로 비슷하게 풀면, 함숫값의 어림값에 대한 다음의 (일부만 나타낸) 자료표와 데이터 및 온도 함수의 그래프를 얻는다.
$t$	$T_B(t)$
---	---
$0.0$	$100$
$0.1$	$99.7$
$0.2$	$99.41298$
$0.3$	$99.13872$
$0.4$	$98.87689$
$\vdots$	$\vdots$
$49.6$	$69.39515$
$49.7$	$69.33946$
$49.8$	$69.29248$
$49.9$	$69.25467$
$50$	$69.22638$

(e) 두 커피의 온도 변화 양상은 처음에는 각각 실내 온도를 향해 감소하다가, 이후 실내 온도 함수가 오르내림에 따라 진동하며 움직인다는 점에서 비슷하다. 앨리스의 커피는 평균 실내 온도에서 벗어나는 영향을 더 쉽게 받는데, 이는 앨리스의 머그잔이 단열이 덜 되어 있다는 것과 일치한다. 반면 밥의 커피에서는 진동이 훨씬 덜 급격하며(실내 온도에 가까워지기까지 전체적인 감소 속도도 더 느리다), 이는 단열이 더 잘 되어 있다는 것과 일치한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The differential equation for Alice's coffee is $\frac{dT_A}{dt} = -0.5(T-70)\,,$ so at the instant $t = 0$ , $T = 100$ , and thus $\frac{dT_A}{dt} \vert_{T = 100} = -0.5(30) = -15$ degrees per minute. For Bob's coffee, $\frac{dT_B}{dt} = -0.1(T-70)\,,$ so $\frac{dT_B}{dt} \vert_{T = 100} = -0.1(30) = -3$ degrees per minute. These are the initial rates of change of the respective cups of coffee. (b) The difference between the cups of coffee could be explained by how insulated the containers are: Bob's coffee loses temperature less quickly, so his is likely better insulated. (c) With this varying temperature, the governing differential equation for Alice's coffee is $\frac{dT_A}{dt} = -0.5(T_A-(70+10\sin t))\,,$ with the inital condition $T_A(0) = 100$ . Implementing Euler's Method with $\Delta t = 0.1$ , we get the following (abbreviated) table of data.

$t$	$T_A(t)$
$0.0$	$100$
$0.1$	$98.5$
$0.2$	$97.12492$
$0.3$	$95.86801$
$0.4$	$94.72237$
$\vdots$	$\vdots$
$49.6$	$65.56715$
$49.7$	$65.48008$
$49.8$	$65.43816$
$49.9$	$65.44183$
$50$	$65.49103$

Plotting the data points that result from Euler's Method along with the room temperature function, we see how the room temperature drives the temperature of the coffee up and down as time goes on, as pictured in the figure above, where the data points for the coffee's approximate temperature are shown in dark blue, while the room temperature function, $T_R(t) = 70 + 10\sin(t)$ is shown in green.
(d) Similar work with the differential equation for Bob's coffee yields the following abbreviated table of approximate function values along with the plot of the data and the temperature function.
$t$	$T_B(t)$
---	---
$0.0$	$100$
$0.1$	$99.7$
$0.2$	$99.41298$
$0.3$	$99.13872$
$0.4$	$98.87689$
$\vdots$	$\vdots$
$49.6$	$69.39515$
$49.7$	$69.33946$
$49.8$	$69.29248$
$49.9$	$69.25467$
$50$	$69.22638$

(e) The behaviors of both cups of coffee are similar in that each decreases toward the room temperature initially and then is driven in an oscillating way by the room temperature function as it rises and falls. We see that Alice's coffee is more susceptible to being influenced away from the average room temperature, which is consistent with her mug being less well insulated, while in Bob's coffee, we see much less radical oscillations (and a slower overall rate of decrease to get near room temperature), which is consistent with being better insulated.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 7.4절 · 12번우리말 번역

다음 미분방정식의 거듭제곱급수 해를 구하세요.

${y}^{''}-2xy=0,\quad y(0)=1,\,\,{y}^{'}(0)=-3$

다 풀었으면 정답 확인

$y=1-3x+\frac{2{x}^{3}}{3!}-\frac{12{x}^{4}}{4!}+\frac{16{x}^{6}}{6!}-\frac{120{x}^{7}}{7!}+\cdots$

이 문제로 이어서 풀기

# 오일러 방법그래프·표 해석자동 분류