문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 미분방정식

오일러 방법

작은 간격으로 접선을 따라가며 해를 수치로 근사한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

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2문제 · 1 / 1쪽

1.Active Calculus · 7.3절 · 6번대학 수준우리말 번역

뉴턴의 냉각 법칙에 따르면, 커피 한 잔과 같은 물체가 식는 속도는 물체의 온도와 실내 온도의 차에 비례한다. $T(t)$ 가 물체의 온도이고 $T_r$ 이 실내 온도일 때, 이 법칙은 다음과 같이 나타내어진다.

$\frac{dT}{dt} = -k(T-T_r)\,,$ 여기서 $k$ 는 비례상수이다. 이 문제에서 온도는 화씨 도로, 시간은 분으로 측정한다.

(a) 미적분을 배우는 두 학생 앨리스와 밥이 동시에 70 $^\circ$ 인 교실에 들어간다. 두 사람은 각각 100 $^\circ$ 인 커피 한 잔을 들고 있다. 앨리스의 미분방정식에서 비례상수는 $k=0.5$ 이고, 밥의 비례상수는 $k=0.1$ 이다. 앨리스의 커피의 초기 변화율은 얼마인지 구하세요. 밥의 커피의 초기 변화율은 얼마인지 구하세요. (b) 앨리스와 밥의 커피 잔의 어떤 특징이 이 차이를 설명할 수 있는지 설명하세요. (c) 실내 난방 장치가 켜졌다 꺼졌다 함에 따라 실내 온도가 다음과 같다고 하자. $T_r=70+10\sin t\,.$ 시간 구간 $0\leq t\leq 50$ 에서 앨리스의 커피 온도를 어림하기 위해 단계 크기 $\Delta t = 0.1$ 로 오일러 방법을 적용하세요. 이는 엑셀과 같은 스프레드시트를 사용하면 가장 쉽게 할 수 있다. 이 구간에서 앨리스의 커피 온도와 실내 온도의 그래프를 그리세요. (d) 같은 방법으로 오일러 방법을 적용하여 같은 시간 구간에서 밥의 커피 온도를 어림하세요. 이 구간에서 밥의 커피 온도와 실내 온도의 그래프를 그리세요. (e) 앨리스의 커피와 밥의 커피의 온도 변화 양상에서 나타나는 비슷한 점과 다른 점을 설명하세요.

영어 원문 보기

Newton's Law of Cooling says that the rate at which an object, such as a cup of coffee, cools is proportional to the difference in the object's temperature and room temperature. If $T(t)$ is the object's temperature and $T_r$ is room temperature, this law is expressed at

$\frac{dT}{dt} = -k(T-T_r)\,,$ where $k$ is a constant of proportionality. In this problem, temperature is measured in degrees Fahrenheit and time in minutes.

(a) Two calculus students, Alice and Bob, enter a 70 $^\circ$ classroom at the same time. Each has a cup of coffee that is 100 $^\circ$ . The differential equation for Alice has a constant of proportionality $k=0.5$ , while the constant of proportionality for Bob is $k=0.1$ . What is the initial rate of change for Alice's coffee? What is the initial rate of change for Bob's coffee? (b) What feature of Alice's and Bob's cups of coffee could explain this difference? (c) As the heating unit turns on and off in the room, the temperature in the room is $T_r=70+10\sin t\,.$ Implement Euler's method with a step size of $\Delta t = 0.1$ to approximate the temperature of Alice's coffee over the time interval $0\leq t\leq 50$ . This will most easily be performed using a spreadsheet such as Excel. Graph the temperature of her coffee and room temperature over this interval. (d) In the same way, implement Euler's method to approximate the temperature of Bob's coffee over the same time interval. Graph the temperature of his coffee and room temperature over the interval. (e) Explain the similarities and differences that you see in the behavior of Alice's and Bob's cups of coffee.

정답·풀이 보기

(a) 앨리스의 커피에 대한 미분방정식은 $\frac{dT_A}{dt} = -0.5(T-70)\,,$ 이므로 순간 $t = 0$ 에서 $T = 100$ 이고, 따라서 $\frac{dT_A}{dt} \vert_{T = 100} = -0.5(30) = -15$ 로 분당 15도 감소한다. 밥의 커피에 대해서는 $\frac{dT_B}{dt} = -0.1(T-70)\,,$ 이므로 $\frac{dT_B}{dt} \vert_{T = 100} = -0.1(30) = -3$ 으로 분당 3도 감소한다. 이것이 각 커피의 초기 변화율이다. (b) 커피 잔 사이의 차이는 용기가 얼마나 단열되어 있는지로 설명할 수 있다. 밥의 커피는 온도가 더 천천히 떨어지므로, 밥의 용기가 단열이 더 잘 되어 있을 가능성이 높다. (c) 이처럼 실내 온도가 변하므로, 앨리스의 커피에 대한 지배 미분방정식은 $\frac{dT_A}{dt} = -0.5(T_A-(70+10\sin t))\,,$ 이고 초기 조건은 $T_A(0) = 100$ 이다. $\Delta t = 0.1$ 로 오일러 방법을 적용하면 다음과 같은 (일부만 나타낸) 자료표를 얻는다.

$t$	$T_A(t)$
$0.0$	$100$
$0.1$	$98.5$
$0.2$	$97.12492$
$0.3$	$95.86801$
$0.4$	$94.72237$
$\vdots$	$\vdots$
$49.6$	$65.56715$
$49.7$	$65.48008$
$49.8$	$65.43816$
$49.9$	$65.44183$
$50$	$65.49103$

오일러 방법으로 얻은 데이터 점을 실내 온도 함수와 함께 그리면, 위 그림에서 보듯이 시간이 지남에 따라 실내 온도가 커피의 온도를 오르내리게 함을 알 수 있다. 그림에서 커피의 어림 온도에 해당하는 데이터 점은 짙은 파란색으로, 실내 온도 함수 $T_R(t) = 70 + 10\sin(t)$ 는 초록색으로 나타냈다.
(d) 밥의 커피에 대한 미분방정식으로 비슷하게 풀면, 함숫값의 어림값에 대한 다음의 (일부만 나타낸) 자료표와 데이터 및 온도 함수의 그래프를 얻는다.
$t$	$T_B(t)$
---	---
$0.0$	$100$
$0.1$	$99.7$
$0.2$	$99.41298$
$0.3$	$99.13872$
$0.4$	$98.87689$
$\vdots$	$\vdots$
$49.6$	$69.39515$
$49.7$	$69.33946$
$49.8$	$69.29248$
$49.9$	$69.25467$
$50$	$69.22638$

(e) 두 커피의 온도 변화 양상은 처음에는 각각 실내 온도를 향해 감소하다가, 이후 실내 온도 함수가 오르내림에 따라 진동하며 움직인다는 점에서 비슷하다. 앨리스의 커피는 평균 실내 온도에서 벗어나는 영향을 더 쉽게 받는데, 이는 앨리스의 머그잔이 단열이 덜 되어 있다는 것과 일치한다. 반면 밥의 커피에서는 진동이 훨씬 덜 급격하며(실내 온도에 가까워지기까지 전체적인 감소 속도도 더 느리다), 이는 단열이 더 잘 되어 있다는 것과 일치한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The differential equation for Alice's coffee is $\frac{dT_A}{dt} = -0.5(T-70)\,,$ so at the instant $t = 0$ , $T = 100$ , and thus $\frac{dT_A}{dt} \vert_{T = 100} = -0.5(30) = -15$ degrees per minute. For Bob's coffee, $\frac{dT_B}{dt} = -0.1(T-70)\,,$ so $\frac{dT_B}{dt} \vert_{T = 100} = -0.1(30) = -3$ degrees per minute. These are the initial rates of change of the respective cups of coffee. (b) The difference between the cups of coffee could be explained by how insulated the containers are: Bob's coffee loses temperature less quickly, so his is likely better insulated. (c) With this varying temperature, the governing differential equation for Alice's coffee is $\frac{dT_A}{dt} = -0.5(T_A-(70+10\sin t))\,,$ with the inital condition $T_A(0) = 100$ . Implementing Euler's Method with $\Delta t = 0.1$ , we get the following (abbreviated) table of data.

$t$	$T_A(t)$
$0.0$	$100$
$0.1$	$98.5$
$0.2$	$97.12492$
$0.3$	$95.86801$
$0.4$	$94.72237$
$\vdots$	$\vdots$
$49.6$	$65.56715$
$49.7$	$65.48008$
$49.8$	$65.43816$
$49.9$	$65.44183$
$50$	$65.49103$

Plotting the data points that result from Euler's Method along with the room temperature function, we see how the room temperature drives the temperature of the coffee up and down as time goes on, as pictured in the figure above, where the data points for the coffee's approximate temperature are shown in dark blue, while the room temperature function, $T_R(t) = 70 + 10\sin(t)$ is shown in green.
(d) Similar work with the differential equation for Bob's coffee yields the following abbreviated table of approximate function values along with the plot of the data and the temperature function.
$t$	$T_B(t)$
---	---
$0.0$	$100$
$0.1$	$99.7$
$0.2$	$99.41298$
$0.3$	$99.13872$
$0.4$	$98.87689$
$\vdots$	$\vdots$
$49.6$	$69.39515$
$49.7$	$69.33946$
$49.8$	$69.29248$
$49.9$	$69.25467$
$50$	$69.22638$

(e) The behaviors of both cups of coffee are similar in that each decreases toward the room temperature initially and then is driven in an oscillating way by the room temperature function as it rises and falls. We see that Alice's coffee is more susceptible to being influenced away from the average room temperature, which is consistent with her mug being less well insulated, while in Bob's coffee, we see much less radical oscillations (and a slower overall rate of decrease to get near room temperature), which is consistent with being better insulated.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 7.4절 · 12번

# 오일러 방법그래프·표 해석자동 분류

2.Active Calculus · 7.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

초깃값 문제의 해를 근사할 때 오차는 $\Delta t$ 에 비례함을 보았다. 즉, $E_{\Delta t}$ 가 $\overline{t}$ 에서 초깃값 문제의 해에 대한 오일러 방법의 근삿값이라면

$y(\overline{t})-E_{\Delta t} \approx K\Delta t$

를 만족하는 비례상수 $K$ 가 있다.

이 문제에서는 이 사실을 이용하여 가속 수렴이라는 아이디어로 추정값을 개선하는 방법을 알아본다.

(a) 오차가 $\Delta t$ 에 정확히 비례한다고 가정하여, 다음 식에 따라 새로운 근삿값을 만들어 보자. $y(\overline{t})-E_{\Delta t} =K\Delta t\,.$ 초깃값 문제 $dy/dt = y$ , $y(0)=1$ 에서 $\Delta t = 0.2$ 와 $\Delta t = 0.1$ 일 때 앞에서 얻은 결과를 이용하면 다음과 같다. $\begin{aligned}y(1) - 2.4883 =\mathstrut & 0.2K \\ y(1) - 2.5937 =\mathstrut & 0.1K\end{aligned}\,.$ 이것은 미지수 $y(1)$ 과 $K$ 에 대한 두 일차방정식으로 이루어진 연립방정식이다. 이 연립방정식을 풀어 $y(1)$ 의 새로운 근삿값을 구하세요. (정확한 값은 $y(1) = e = 2.71828\ldots$ 임을 기억할 것이다.) (b) 다른 자료인 $E_{0.05} = 2.6533$ 과 $E_{0.025} = 2.6851$ 을 이용하여 (a)와 비슷한 방법으로 또 다른 근삿값을 구하세요. 어느 쪽이 더 좋은 근삿값인가요? 그 이유는 무엇이라고 생각하나요? (c) 이제 초깃값 문제 $\frac{dy}{dt} = t-y, \ y(0) = 0$ 을 살펴보자. 오일러 방법을 적용하여 근삿값 $E_{0.1}$ 과 $E_{0.05}$ 를 구하고 이를 이용해 $y(0.3)$ 을 어림하세요. 그런 다음 가속 수렴의 아이디어를 이용하여 더 좋은 근삿값을 구하세요. (비교를 위해, 실제 값은 $y(0.3) = 0.0408$ 임을 참고하세요.)

영어 원문 보기

We have seen that the error in approximating the solution to an initial value problem is proportional to $\Delta t$ . That is, if $E_{\Delta t}$ is the Euler's method approximation to the solution to an initial value problem at $\overline{t}$ , then

$y(\overline{t})-E_{\Delta t} \approx K\Delta t$

for some constant of proportionality $K$ .

In this problem, we will see how to use this fact to improve our estimates, using an idea called accelerated convergence.

(a) We will create a new approximation by assuming the error is exactly proportional to $\Delta t$ , according to the formula $y(\overline{t})-E_{\Delta t} =K\Delta t\,.$ Using our earlier results from the initial value problem $dy/dt = y$ and $y(0)=1$ with $\Delta t = 0.2$ and $\Delta t = 0.1$ , we have $\begin{aligned}y(1) - 2.4883 =\mathstrut & 0.2K \\ y(1) - 2.5937 =\mathstrut & 0.1K\end{aligned}\,.$ This is a system of two linear equations in the unknowns $y(1)$ and $K$ . Solve this system to find a new approximation for $y(1)$ . (You may remember that the exact value is $y(1) = e = 2.71828\ldots$ .) (b) Use the other data, $E_{0.05} = 2.6533$ and $E_{0.025} = 2.6851$ to do similar work as in (a) to obtain another approximation. Which gives the better approximation? Why do you think this is? (c) Let's now study the initial value problem $\frac{dy}{dt} = t-y, \ y(0) = 0\,.$ Approximate $y(0.3)$ by applying Euler's method to find approximations $E_{0.1}$ and $E_{0.05}$ . Now use the idea of accelerated convergence to obtain a better approximation. (For the sake of comparison, you want to note that the actual value is $y(0.3) = 0.0408$ .)

정답·풀이 보기

(a) 일차방정식으로 이루어진 연립방정식 $\begin{aligned}y(1) - 2.4883 =\mathstrut & 0.2K \\ y(1) - 2.5937 =\mathstrut & 0.1K\end{aligned}$ 에서 첫째 식에서 둘째 식을 빼면 $y(1)$ 이 소거된다. 이렇게 하면 $-2.4883 - (-2.5937) = 0.2K - 0.1K$ 이므로 $0.1054 = 0.1K$ 이고, 따라서 $K = 1.054$ 이다. 이 값을 연립방정식의 첫째 식에 대입하면 $y(1) - 2.4883 = 0.2(1.054)$ 이므로 $y(1) = 0.2(1.054) + 2.4883 = 2.6991$ 이다. (b) $E_{0.05} = 2.6533$ 과 $E_{0.025} = 2.6851$ 이므로, 이 자료로부터 비슷한 연립일차방정식 $\begin{aligned}y(1) - 2.6533 =\mathstrut & 0.05K \\ y(1) - 2.6851 =\mathstrut & 0.025K\end{aligned}\,.$ 을 얻는다. 이 연립방정식을 풀면 $K = 1.272$ , $y(1) = 2.7169$ 이다. $y(1)$ 의 참값이 $e = 2.71828\ldots$ 이므로 (b)의 근삿값이 훨씬 더 좋음을 알 수 있다. 이는 예상된 결과인데, (a)에서 쓴 더 작은 $\Delta t$ 값을 두 번 반으로 줄인 $\Delta t = 0.05$ 와 $\Delta t = 0.025$ 를 사용하여 이미 더 좋은 근삿값에서 출발하기 때문이다. (c) $E_{0.1}$ 과 $E_{0.05}$ 를 계산하기 위해 먼저 $\Delta t = 0.1$ 과 $\Delta t = 0.5$ 를 사용하여 $y(0.3)$ 의 추정값을 구한다. 이렇게 구하고 (a), (b)에서처럼 오차에 대해 비슷한 가정을 하면, $\Delta t = 0.1$ 일 때 $y(1) \approx 0.0290$ , $\Delta t = 0.05$ 일 때 $y(1) \approx 0.0351$ 이므로 다음 연립방정식을 생각한다. $\begin{aligned}y(0.3) - 0.0290 &= 0.1K \\ y(0.3) - 0.0351 &= 0.05K\end{aligned}\,.$ 이 연립방정식을 풀면 $K = (-0.0290 + 0.0351)/0.05 = 0.122$ 이고 $y(0.3) = 0.1(0.122) + 0.0290 = 0.0412$ 이며, 이는 실제 값 $y(0.3) = 0.0408$ 에 훨씬 더 가깝다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) To solve the linear system $\begin{aligned}y(1) - 2.4883 =\mathstrut & 0.2K \\ y(1) - 2.5937 =\mathstrut & 0.1K\end{aligned}$ we subtract the second equation from the first to eliminate $y(1)$ . Doing so, we find that $-2.4883 - (-2.5937) = 0.2K - 0.1K$ so that $0.1054 = 0.1K$ and thus $K = 1.054$ . Substituting this value into the first equation in the system, it follows that $y(1) - 2.4883 = 0.2(1.054)$ so $y(1) = 0.2(1.054) + 2.4883 = 2.6991$ . (b) Recalling that $E_{0.05} = 2.6533$ and $E_{0.025} = 2.6851$ , it follows that this data generates the similar linear system given by $\begin{aligned}y(1) - 2.6533 =\mathstrut & 0.05K \\ y(1) - 2.6851 =\mathstrut & 0.025K\end{aligned}\,.$ Solving this system yields $K = 1.272$ and $y(1) = 2.7169$ . Knowing that the true value of $y(1)$ is $e = 2.71828\ldots$ , we see that the approximation here in (b) is much better. That is expected because we are already working with better approximations that come from using $\Delta t = 0.05$ and $\Delta t = 0.025$ , which have been twice halved from the smaller $\Delta t$ value in (a). (c) To compute $E_{0.1}$ and $E_{0.05}$ , we first compute the estimates to $y(0.3)$ using $\Delta t = 0.1$ and $\Delta t = 0.5$ . Doing so and making similar assumptions about the error as we did in (a) and (b), we find that for $\Delta t = 0.1$ , $y(1) \approx 0.0290$ and for $\Delta t = 0.05$ , $y(1) \approx 0.0351$ , and therefore we consider the system $\begin{aligned}y(0.3) - 0.0290 &= 0.1K \\ y(0.3) - 0.0351 &= 0.05K\end{aligned}\,.$ Solving the system, it follows that $K = (-0.0290 + 0.0351)/0.05 = 0.122$ and $y(0.3) = 0.1(0.122) + 0.0290 = 0.0412$ , which is much closer to the actual value of $y(0.3) = 0.0408$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 7.3절 · 6번

# 오일러 방법활용자동 분류